柒葉灬 的博客

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数列推导(个人笔记11)

posted on 2018-09-19 21:50:04 | under 数学 |

求一个递推式的通项公式。


已知有一个递推公式:

$$ f(x)=2*f(x-1)+(-1)^n $$

其中 $ f(1)=0 $ 问通项公式?

等式右边有 $2^n$

所以先把这一个给去掉即可.

原式可化为:

$$ \frac{f(n)}{(-1)^n}=\frac{2*f(n-1)}{(-1)^n}+1 $$

$$ \frac{f(n)}{(-1)^n}=\frac{-2*f(n-1)}{(-1)^{n-1}}+1 $$

设另个函数 $g(n)$

$$ g(n)=\frac{f(n)}{(-1)^n} $$

代入原式子

$$ g(n)=-2*g(n)+1 $$

可以看出 $g(n)$ 和 $g(n-1)$ 是等比关系.因为把系数 $-2$ 去掉是个等差数列,把常数 $1$ 去掉是个等比数列,合起来,就是一个等比数列了.

等比数列都可以换成同一种形式

$$ g(n)+b=k(g(n-1)+b)$$

已知 $ k=-2 $ , 代入

$$ g(n)+b=-2g(n-1)-2b $$

$$ g(n)=-2g(n-1)-3b $$

$$ -3b=1 $$

$$ b=-\frac{1}{3} $$

整理 $k=-2 , b=-\frac{1}{3} $ ,我们就得到了一个等比数列

$$ a_n=g(n)-\frac{1}{3} $$

$$ a_n=-2*a_{n-1} $$

根据性质,

$$ a_n=(-2)^{n-1}*a_1 $$

所以我们只需要再求出 $a_1$ 就行了

把 $ f(1)=0 $ 带进去算

$$ g(1)=\frac{f(1)}{(-1)^1}=0 $$

$$ a_1=g(1)-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3} $$

最后解出来了:

$$ a_n=(-2)^{n-1}*(-\frac{1}{3})=2^{n-1}*(-1)^{n-1}*(-\frac{1}{3}) $$

返回依次解 $g(n)$ , $f(n)$

$$ g(n)=a_n+\frac{1}{3}=2^{n-1}*(-1)^{n-1}*(-\frac{1}{3})+\frac{1}{3} $$

$$ f(n)=g(n)*(-1)^n=(2^{n-1}*(-1)^{n-1}*(-\frac{1}{3})+\frac{1}{3})*(-1)^n$$

进行最后一步化简:

$$ f(n)=2^{n-1}*(-1)^{2n-1}*(-\frac{1}{3})+\frac{1}{3}*(-1)^n$$

$$ f(n)=2^{n-1}*\frac{1}{3}+\frac{1}{3}*(-1)^n $$

$$ f(n)=\frac{2^{n-1}+(-1)^n}{3} $$


  • 总结:

    求一个形如 $f(n)=a*f(n-1)+b*n$ 的式子的时候
    先把式子化成 $g(n)=a*g(n-1)+b$ 的形式
    再用等比数列求,然后把已知的 $f(1)$ 或 $f(0)$ 代入
    最后在逆推求出 $f(n)$ 即可