Uchiha_Itachi 的博客

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OI/ACM中会用到的微积分

posted on 2019-01-28 13:07:41 | under 咕咕日报 |

-1 写在最前面

微积分是解数学问题的一个十分巧妙的方法,在各类数学相关题目中可以作为一种很好的工具来使用。微积分有一个毛病,就是一般是只有ACM题目会考

0 微机分的历史

微积分是长期演变的结果,既不是(像中小学语文课本里说的那样)是由牛顿和莱布尼茨开始的,也不是由他们完成的,但不可否认他们两人在其中起到了决定性作用。

——《什么是数学》

微积分是长期演变的结果,当年阿基米德计算球体体积时,就已经有了积分的思想蕴含其中了。

在这篇文章中,笔者会给微积分做一个比较初步的介绍,进阶版请出门右转google

1 积分

1.1 将面积看做极限

我们知道, $S_{\text{矩形}}=ab$ ,其中 $a,b$ 分别为矩形的长和宽。现在给出证明。

证明: 设有理数 $p=\frac{m}{n}$ , $q=\frac{m'}{n'}$ ,其中 $m,m',n,n'\in\mathbb{Z}$ 为矩形的长、宽。

求两边的公度量 $\delta=\frac{1}{nn'}$ ,则 $p=mn'\cdot{\delta},q=nm'\cdot{\delta}$ 。

最后,将矩形分为多个边长为 $\delta$ ,面积为 $\delta^2$ 的小正方形,这些正方形共有 $nm'\cdot mn'$ 个。它们的总面积为 $$nm'n'm\cdot \delta^2=nm'mn'\cdot\frac{1}{n^2n'^2}=\frac{m}{n}\cdot\frac{m'}{n'}=pq.$$

如此,若 $p,q$ 为无理数,则我们可以使用数列 $\{p_i\},\{q_i\}$ 来无限接近 $p,q$ ,得到相同的结果。

1.2 积分

微积分,正如其名,它的第一个基本概念就是积分。这里,积分被理解为用极限手法取得的曲线下图像面积。

例如

这幅图中,绿油油的那一片(别想歪了)的面积就可以记为 $\int_2^6f(x)\text{d}x$ ,求解这个值的过程就称为求积分

下面通过几个例子展示求积分的基础方法。

1.2.1 $f(x)=1$ 的积分

即求: $\int_a^bf(x)\text{d}x=S$ .

首先,定义 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ ,其中 $n$ 是一个变量,它趋向于 $\infty$ 。

则,有 $S=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x=\sum_{i=1}^{n}f(a+i\Delta x)\Delta x$ .

带入 $f(x)=1$ 得上式 $=\sum_{i=1}^{n}\Delta x=n\Delta x$ .

再带入 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 得 $S=b-a$ .