题解 P4207 【[NOI2005]月下柠檬树】

蒟蒻写了一上午才把这题写明白T_T，这篇题解是给刚接触计算几何、simpson公式的同学们看的，有基础请看其他dalao题解。 ## 题意 求一棵由圆台、圆锥组成的树在平行光下的投影。 ## 分析  圆台投在地上形成圆和梯形；圆锥投在地上形成圆和三角形。圆投在地上，得到一个与原来等大的圆，梯形和三角形的高变为原来的$\frac{1}{tan(\alpha)}$，像这样(图片由Windows10自带的画图3D制作)：  如果树更复杂一点，可能是这样（下图来自CSDN）  我们要求的就是这样的面积并。 咋求啊？ ## Section 1：~~Simple~~ Simpson公式 自适应Simpson公式(adaptive Simpson's rule)是一种像二分法、三分法一样的数值方法。我们先来看Simpson公式： $$\int ^b_a f(x)dx=(b-a)\frac{f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)}{6}$$ 就这么搞？这公式准确吗？ 当然……不准确了。但是把整个函数分成若干段，分开计算Simpson，分段越多，越接近准确值，但计算量也就越大。我们可以这样搞：取$[a,b]$的中点$c$，当$|S(a,c)+S(c,b)-S(a,b)|<EPS$时返回结果，否则递归下去，像这样： ``` #define EPS 1e-7 double F(double x) { //do something } //三点Simpson法，这里要求F是一个全局函数 double simpson(double a, double b) { double c = a + (b - a) / 2.0; return (b - a) * (F(a) + 4.0 * F(c) + F(b)) / 6.0; } //自适应Simpson公式 double asr(double a, double b, double ans) { double c = a + (b - a) / 2.0; double left = simpson(a, c), right = simpson(c, b); if(fabs(left + right - ans) < EPS) return left + right; else return asr(a, c, left) + asr(c, b, right); } int main() { printf("%lf", asr(simpson(l, r, simpson(l, r)))); return 0; } ``` 这就很~~Simple~~Simpson了是不是？ ## Section 2：计算几何——求公切线 我们发现，圆形和梯形是这样合并的：  梯形的两腰正是两个圆的公切线。本题需要公切线的左右两端的横坐标（即把这一段视为函数后的定义域），斜率，和纵截距。  如图，$x$轴是影子的对称轴，$\bigodot A$与$\bigodot C$的公切线之一是直线$BG$，过点$G$、点$B$分别作$x$轴的垂线。四边形$BJCG$是矩形。原点$O$是柠檬树的树根（在屏幕外面）。 由圆台高度和$\alpha$的余切值，我们可以求出线段$OC,OA$的长度，即可得$AC=OA-OC$。 由两个圆的半径可得$AJ=CG-AB$。 显然，$sin\angle CGK=sin\angle ACJ=\frac{AJ}{AC}$，$CK=sin\angle CGK \cdot CG$，$OK=OC+CK$，$OK$的值即为定义域的左端。我们也可以以相同方法求出$\bigodot A$切点的横坐标，即定义域右端。 然后我们就可以通过勾股定理求出$GK$的长，进而得到$G$的坐标，对$B$进行相同处理后，确定了公切线上的两点，我们就可以得到公切线的斜率与纵截距，求出公切线的解析式。 至此，这道题的所有难点都已经攻破，上代码！ ``` #include<cstdio> #include<cmath> #define EPS 1e-7 double alpha; int n; struct circle { double x, r; //x为投影圆心到树根的距离，r为半径 }p[1000]; struct tan_line { double k, b, left, right; //f(x)=kx+b,x∈[left,right] }q[1000]; double Gougu(double a, double b)//a是斜边 { return sqrt(a*a - b * b); } void get_tan(int x, int y) { if (fabs(p[x].r - p[y].r)<EPS)//实数比较记得带上EPS { q[x].left = p[x].x; q[x].right = p[y].x; q[x].k = 0; q[x].b = p[x].r; return; } double dx = p[y].x - p[x].x, dr = fabs(p[x].r - p[y].r); //dx即图中的AC，dr即图中的AJ double ly, ry; if (p[x].r>p[y].r) { q[x].left = p[x].x + p[x].r*dr / dx;//公切线左端 q[x].right = p[y].x + (q[x].left - p[x].x)*p[y].r / p[x].r;//公切线右端 ly = Gougu(p[x].r, q[x].left - p[x].x);//勾股定理求F(left) ry = Gougu(p[y].r, q[x].right - p[y].x);//勾股定理求F(right) q[x].k = (ly - ry) / (q[x].left - q[x].right);//求斜率 q[x].b = ly - q[x].left*q[x].k;//求纵截距 } else//另一种情况，同理 { q[x].right = p[y].x - p[y].r*dr / dx; q[x].left = p[x].x - (p[y].x - q[x].right)*p[x].r / p[y].r; ly = Gougu(p[x].r, q[x].left - p[x].x); ry = Gougu(p[y].r, q[x].right - p[y].x); q[x].k = (ly - ry) / (q[x].left - q[x].right); q[x].b = ly - q[x].left*q[x].k; } } double F(double x) { double ans = 0.0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (x<p[i].x + p[i].r&&x>p[i].x - p[i].r)//x在这一段内 { //迭代答案 ans = ans>Gougu(p[i].r, x - p[i].x) ? ans : Gougu(p[i].r, x - p[i].x); } } for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (x >= q[i].left&&x <= q[i].right)//x在这一段内 { //迭代答案 ans = ans>q[i].k*x + q[i].b ? ans : q[i].k*x + q[i].b; } } return ans; } //三点Simpson法 double simpson(double a, double b) { double c = a + (b - a) / 2.0; return (b - a) * (F(a) + 4.0 * F(c) + F(b)) / 6.0; } //自适应Simpson公式 double asr(double a, double b, double ans) { double c = a + (b - a) / 2.0; double left = simpson(a, c), right = simpson(c, b); if (fabs(left + right - ans) < EPS) { return left + right; } else { return asr(a, c, left) + asr(c, b, right); } } int main() { scanf("%d %lf", &n, &alpha); alpha = 1.0 / tan(alpha);//我们只会用到cot(alpha) scanf("%lf", &p[1].x); p[1].x *= alpha; for (int i = 2; i <= n + 1; ++i) { scanf("%lf", &p[i].x); p[i].x *= alpha; p[i].x += p[i - 1].x; } for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lf", &p[i].r); ++n; p[n].r = 0.0;//树顶是圆锥 for (int i = 1; i <= n - 1; ++i) { get_tan(i, i + 1);//求i与i+1间的切线 } //迭代整个影子的最低点和最高点 double ll = p[1].x - p[1].r, rr = p[n].x; for (int i = 1; i <= n; ++i) { rr = rr>(p[i].x + p[i].r) ? rr : (p[i].x + p[i].r); ll = ll<(p[i].x - p[i].r) ? ll : (p[i].x - p[i].r); } printf("%.2lf\n", 2.0*asr(ll, rr, simpson(ll, rr))); //我们只算了影子的一半，所以还要乘2 return 0; } ```