P2505 [HAOI2012] 道路

2018-04-02 20:10:27


最短路图裸题(然而也是现学现卖)

首先,存在定理:i→j 的最短路径的任意一条子路径u→v 都是最短路径

由此可得,在固定起点S时,存在G的一个子图G ′ ,使得G' 的每一条边都在SS 到其他至少一个点的最短路径上,且G'以外的边不在S 到任意一个点的最短路径上。这里把G ′ 称为源点为S 时G 的最短路图。

判断一条边是否在最短路图上,只需要判断dis[u]+edge[i].dis==dis[v] 即可(u,v分别是边的两个端点)

又存在定理:对于任意边权为正数的图G和任意起点S,最短路图中不存在环

对于此题,先枚举起点spfa求出最短路

由于不存在环,所以用拓扑排序

先按照拓扑序,求出S到任意点u的最短路径数目cnt1[u]

再按照拓扑序的逆序,求出在最短路图上以任意点u为起点的路径条数cnt2[u]

(在最短路图上如果存在u->v,则cnt2[u]+=cnt2[v])

最后统计答案:对于在最短路图上的一条边u->v,贡献为cnt1[u]*cnt2[v]

ps:不要忘记模数,以及循环时判断当前边是否在最短路图上

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<deque>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define reg register
using namespace std;
const int N=1505,mod=1e9+7;
struct edge
{
    int from,to,nxt,dis;
}edge[5005];
int n,m,num,ans[5005],head[N],in[N],cnt1[N],cnt2[N],dis[N],res[N];
bool exist[N],vis[5005];
inline int read()
{
    int x=0,w=1;
    char c=getchar();
    while (!isdigit(c)&&c!='-') c=getchar();
    if (c=='-') c=getchar(),w=-1;
    while (isdigit(c))
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*w;
}
inline void add_edge(int from,int to,int dis)
{
    edge[++num].nxt=head[from];
    edge[num].to=to;
    edge[num].from=from;
    edge[num].dis=dis;
    head[from]=num;
}
inline void spfa(int s)
{
    deque<int>q;
    memset(dis,127/3,sizeof(dis));
    memset(exist,0,sizeof(exist));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    q.push_back(s); exist[s]=1; dis[s]=0;
    while (!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop_front(); exist[u]=0;
        for (reg int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
        {
            int v=edge[i].to,d=edge[i].dis;
            if (dis[v]>dis[u]+d)
            {
                dis[v]=dis[u]+d;
                if (!exist[v])
                {
                    if (!q.empty()&&dis[v]<dis[q.front()]) q.push_front(v);
                    else q.push_back(v); exist[v]=1;
                }
            }
        }
    }
    for (reg int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=edge[i].from,v=edge[i].to;
        vis[i]=(dis[u]+edge[i].dis==dis[v]);
    }
}
inline void topsort(int k)
{
    queue<int>q;
    memset(in,0,sizeof(in));
    memset(cnt1,0,sizeof(cnt1));
    memset(cnt2,0,sizeof(cnt2));
    q.push(k); cnt1[k]=1; num=0;
    for (reg int i=1;i<=m;i++)
      if (vis[i]) ++in[edge[i].to];
    while (!q.empty())
    {
        int u=q.front(); q.pop(); res[++num]=u;
        for (reg int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
        {
            if (!vis[i]) continue;
            int v=edge[i].to;
            if (!--in[v]) q.push(v);
            cnt1[v]=(cnt1[u]+cnt1[v])%mod;
        }
    }
    for (reg int t=num;t;t--)
    {
        int u=res[t]; ++cnt2[u];
        for (reg int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
        {
            if (!vis[i]) continue;
            int v=edge[i].to;
            cnt2[u]=(cnt2[u]+cnt2[v])%mod;
        }
    }
}
inline void solve(int k)
{
    spfa(k); topsort(k);
    for (reg int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=edge[i].from,v=edge[i].to;
        if (vis[i]) ans[i]=(1ll*ans[i]+cnt1[u]*cnt2[v]%mod)%mod;
    }
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for (reg int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),z=read();
        add_edge(x,y,z);
    }
    for (reg int i=1;i<=n;i++) solve(i);
    for (reg int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}