题解 P4755 【Beautiful Pair】
FlierKing
2018-07-14 23:34:24
我们考虑用分治的思想来解决这个问题。假设我们在计算区间$[l,r]$数对的数量，其中这个区间的最左端的最大值的位置为$mx$，那么我们可以先考虑处理$[l,mx-1]$区间数对的数量和$[mx+1,r]$区间数对的数量。
对于一个区间$[l,r]$，当我们确定了$a_l$时，只需要求$[mx+1,r]$中数字不大于$\frac {a_{mx}}{a_l}$的即是以$l$为左端点答案的对数（因为我们分区间是以最左端的最大值区分的），当确定了$a_r$时同理。此时我们可以枚举小的区间，然后确定另一边要查询的区间以及查询的值，记录下后离线查询。
可以证明，所有查询的区间数量不超过$n\ log\ n$个。考虑当进行一次长度为$len$的枚举时，那么此时被分开的区间长度必然大于$2\times len$，那么对于任意一个数字，它被枚举的次数必然不超过$log\ n$，每被枚举一次会形成一个询问区间，所以询问区间不超过$n\ log\ n$个。
考虑如果选定一个端点，那么可行的右端点的数量可以用树状数组查询。（查询 $[l,r]$ 中小于 $x$ 的数字数量可以用 $[1,r]$ 中小于 $x$ 的数字数量减去 $[1,l-1]$ 中小于 $x$ 的数字数量）
询问一个区间$[l,r]$小于等于$x$的数字数量可以用树状数组解决，用$[1,r]$中的小于等于$x$的数字数量减去$[1,l-1]$中的小于等于$x$的数字数量即为答案。
```
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pr pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define MAXN 500005
using namespace std;
int n,en,r,len;
int a[MAXN],L[MAXN],R[MAXN],b[MAXN];
pr s[MAXN];
vector <int> g[MAXN];
ll ans;
ll tr[MAXN];
int inline read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline int abs(int x){return x>=0?x:-x;}
inline int find_ind(int x){return x>=b[n]?n:upper_bound(b+1,b+len+1,x)-b-1;}
inline int lowbit(int x){return x&-x;}
ll query(int x)
{
ll res=0;
while (x)
{
res+=tr[x];
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
void update(int x,int v)
{
while (x<=n)
{
tr[x]+=v;
x+=lowbit(x);
}
}
int main()
{
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++)
b[i]=a[i]=read();
for (int i=1;i<=n;i++)
{
while (en&&s[en].fi<a[i]) en--;
L[i]=en?s[en].se+1:1;
s[++en]=make_pair(a[i],i);
}
en=0;
for (int i=n;i;i--)
{
while (en&&s[en].fi<=a[i]) en--;
R[i]=en?s[en].se-1:n;
s[++en]=make_pair(a[i],i);
}
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (i-L[i]<=R[i]-i)
{
g[i-1].pb(-1);
g[R[i]].pb(1);
for (int j=L[i];j<i;j++)
{
g[i-1].pb(-a[i]/a[j]);
g[R[i]].pb(a[i]/a[j]);
}
}
else
{
g[L[i]-1].pb(-1);
g[i].pb(1);
for (int j=i+1;j<=R[i];j++)
{
g[L[i]-1].pb(-a[i]/a[j]);
g[i].pb(a[i]/a[j]);
}
}
}
sort(b+1,b+n+1);
len=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
for (int i=1;i<=n;i++)
a[i]=lower_bound(b+1,b+len+1,a[i])-b;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
update(a[i],1);
int to=g[i].size();
for (int j=0;j<to;j++)
{
r=find_ind(abs(g[i][j]));
g[i][j]<0?ans-=query(r):ans+=query(r);
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
```