P1880 【[NOI1995]石子合并】of 四边形不等式
Hurricane、
2017-12-21 17:21:36
如果对于任意的a1≤a2< b1≤b2，有m[a1,b1]+m[a2,b2]≤m[a1,b2]+m[a2,b1]，那么m[i,j]满足四边形不等式。
所以这是一个求(xuan)骗(xue)的东西。
*******************
#定理
[](http://blog.163.com/dqx\_wl/blog/static/2396821452015111133052112/)
对方程$$m(i,j)=\min\{m(i,k-1),m(k,j)\}+w(i,j) (i≤k≤j)$$
且s(i,j)表示m(i,j)取得最优值时对应的下标，有：
- 区间包含的单调性：如果对于i≤i'< j≤j'，有w(i',j)≤w(i,j')，那么说明w具有区间包含的单调性。
- 四边形不等式：如果对于i≤i'< j≤j'，有w(i,j)+w(i',j')≤w(i',j)+w(i,j')，我们称函数w满足四边形不等式。
蓝线长和≤红线长和
- 定理一：如果上述的w函数同时满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么函数m也满足四边形不等式性质。
- 定理二：假如m(i,j)满足四边形不等式，那么s(i,j)单调，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。
然后k的范围就从 [ i , j ] 变成了[ s(i,j-1) , s(i+1,j) ]，像这样：
m[1,3]取s[1,2]和s[2,3]，
m[2,5]取s[ 2,4]=3，s[3,5]=3，相当于直接取3。
（然后记s[2,5]=3）
少了一重循环！！！
**完美解释了OBST问题！！！**
~~（其实就是套定理）~~
#题目
[NOI 1995 石子合并](https://www.luogu.org/problemnew/show/1880)
(洛谷 P1880)
n<=100……如果n<=1000呢？
100的$O(n^3)$还能过，1000的就得$O(n^2)$了。
环形的……也不惧……
***但最大值不单调，不能用四边形不等式***
不过最大值可以两个端点的最大者取得。
[详解](http://www.eefocus.com/chs4444/blog/11-12/235769\_83fc1.html)
题解 by myself
```cpp
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[2005],sum[2005];
int fmi[2005][2005],fma[2005][2005],
smi[2005][2005];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
a[i+n]=a[i];
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
smi[i][i]=i;
}
for(int i=1+n;i<=(n<<1);i++){
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
smi[i][i]=i;
}
for(int i=(n<<1)-1;i;i--)
for(int j=i+1;j<=(n<<1);j++){
int jc=0,tmp=0x3f3f3f3f;
fma[i][j]=max(fma[i][j-1],fma[i+1][j])+sum[j]-sum[i-1];
/*注意这句，
求最大值不能用四边形不等式，
因为最大值不满足单调性，
但最大值有一个性质，
即总是在两个端点的最大者中取到。
*/
for(int k=smi[i][j-1];k<=smi[i+1][j];k++){
int tt=fmi[i][k]+fmi[k+1][j]+(sum[j]-sum[i-1]);
if(tt<tmp){
tmp=tt;
jc=k;
}
}
smi[i][j]=jc;
fmi[i][j]=tmp;
}
int ama=0,ami=0x3f3f3f3f;
for(int i=1;i<=n;i++){
ama=max(ama,fma[i][i+n-1]);
ami=min(ami,fmi[i][i+n-1]);
}
printf("%d\n%d",ami,ama);
return 0;
}
```