题解 P2042 【维护数列】

## 问题解析 ### 做题思路预备 首先，要有一点splay维护区间操作的基础。 splay维护区间的基本原理，就是将区间[l,r]的端点l-1,和r+1不断的通过伸展操作即splay到根，将l-1伸展到根，将r+1伸展到根的右儿子，那么[l,r]这段区间就在根的右儿子的左儿子上了。 特别要注意的是，==**这里的l,r不是给出的区间端点的编号，而是我们在平衡树的中序遍历中区间端点的编号。即在平衡树中排名(rank)为l,r的两个节点的真实编号，而对于l=1或r=n的情况就非常特殊了，我们有两种解决方案，一种就是分类讨论，将这4种情况枚举，然后进行操作，这么做固然可行，但是当操作变多时，会使整个程序显得繁琐，并且难于调试。另一种解决方案就是建立虚拟节点，我们把需要维护的区间全部变成[l+1,r+1]，那么我们虚拟出一个1号节点和一个n+2号节点，那么整个操作就显得十分自然了**==。 那么问题就明显是一个splay的基本模板题了。而维护区间翻转，在洛谷的P3391文艺平衡树中有更裸的题目。 这里，一个操作一个操作的解决。 ### 初始化 首先，对于原序列，我们不应该一个一个读入，然后插入，那么效率就是O(nlogn),而splay的常数本身就很大，所以考虑一个优化，就是把原序列一次性读入后，直接类似线段树的build，搞一个整体建树，即不断的将当前点维护的区间进行二分，到达单元素区间后，就把对应的序列值插入进去，这样，我们一开始建的树就是一个非常平衡的树，可以使后续操作的常数更小，并且建树整个复杂度只是O(2n)的。 ### Insert操作 其次，我们来考虑一下如何维护一个insert操作。我们可以这么做，首先如上将需要insert的区间变成节点数目为tot的平衡树,然后把k+1（注意我们将需要操作的区间右移了一个单位，所以题目所给k就是我们需要操作的k+1）移到根节点的位置，把原树中的k+2移到根节点的右儿子的位置。然后把需要insert的区间，先build成一个平衡树，把需要insert的树的根直接挂到原树中k+1的左儿子上就行了。 ### Delete操作 再然后，我们来考虑一下delete操作，我们同样的，把需要delete的区间变成[k+1,k+tot]（注意，是删去k后面的tot个数，那么可以发现我们需要操作的原区间是[k,k+tot-1]!），然后把k号节点移到根节点的位置，把k+tot+2移到根节点的右儿子位置，然后直接把k+tot+2的左儿子的指针清为0，就把这段区间删掉了。可以发现，比insert还简单一点。 ### Reverse操作 接下来，这道题的重头戏就要开始了。splay的区间操作基本原理还类似于线段树的区间操作，即延迟修改，又称打懒标记。 对于翻转（reverse）操作，我们依旧是将操作区间变成[k+1,k+tot]，然后把k和k+tot+1分别移到对应根的右儿子的位置，然后对这个右儿子的左儿子打上翻转标记即可。 ### Make-Same操作 对于Make-Same操作，我们同样需要先将需要操作的区间变成[k+1,k+tot]，然后把k和k+tot+1分别移到根和右儿子的位置，然后对这个右儿子的左儿子打上修改标记即可。 ### Get-Sum操作 对于Get-Sum操作，我们还是将操作区间变成[k+1,k+tot],然后把k和k+tot+1分别移到根和右儿子的位置，然后直接输出这个右儿子的左儿子上的sum记录的和。 ### Max-Sum操作 对于这个求最大子序列的操作，即Max-Sum操作，我们不能局限于最开始学最大子序列的线性dp方法，而是要注意刚开始，基本很多书都会介绍一个分治的O(nlogn)的方法，但是由于存在O(n)的方法，导致这个方法并不受重视，但是这个方法确实很巧妙，当数列存在修改操作时，线性的算法就不再适用了。 这种带修改的最大子序列的问题，最开始是由线段树来维护，具体来说就是，对于线段树上的每个节点所代表的区间，维护3个量：lx表示从区间左端点l开始的连续的前缀最大子序列。rx表示从区间右端点r开始的连续的后缀最大子序列。mx表示这个区间中的最大子序列。 那么在合并[l,mid]和[mid+1,r]时，就类似一个dp的过程了！其中 $lx[l,r]=max(lx[l,mid],sum[l,mid]+lx[mid+1,r])$ $rx[l,r]=max(rx[mid+1,r],sum[mid+1,r]+rx[l,mid])$ $mx[l,r]=max(mx[l,mid],mx[mid+1,r],lx[mid+1,r]+rx[l,mid+1])$ 这个还是很好理解的。就是选不选mid的两个决策。但是其实在实现的时候，我们并不用[l,r]的二维方式来记录这三个标记，而是用对应的节点编号来表示区间，这个可以看程序，其实是个很简单的东西。 那么最大子序列这个询问操作就可以很简单的解决了，还是类比前面的方法，就是把k和k+tot+1移到对应的根和右儿子的位置，然后直接输出右儿子的左儿子上的mx标记即可 ### 懒标记的处理 最后，相信认真看了的童鞋会有疑问，这个标记怎么下传呢？首先，我们在每次将k和k+tot+1移到对应的位置时，需要一个类似查找k大值的find操作，即找出在平衡树中，实际编号为k在树中中序遍历的编号，这个才是我们真正需要处理的区间端点编号，那么就好了，我们只需在查找的过程中下传标记就好了！（其实线段树中也是这么做的），因为我们所有的操作都需要先find一下，所以我们可以保证才每次操作的结果计算出来时，对应的节点的标记都已经传好了。而我们在修改时，直接修改对应节点的记录标记和懒标记，因为我们的懒标记记录的都是已经对当前节点产生贡献，但是还没有当前节点的子树区间产生贡献！然后就是每处有修改的地方都要pushup一下就好了。 ### 一些细节 另外，由于本题数据空间卡的非常紧，我们就需要用时间换空间，直接开4000000\*logm的数据是不现实的，但是由于题目保证了同一时间在序列中的数字的个数最多是500000，所以我们考虑一个回收机制，把用过但是已经删掉的节点编号记录到一个队列或栈中，在新建节点时直接把队列中的冗余编号搞过来就好了。 ### 后言 **实现时还有诸多细节，务必要细看代码，加深了解。** ## 参考代码： ``` cpp #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<queue> #define rint register int #define For(i,a,b) for (rint i=a;i<=b;++i) using namespace std; const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e6+17; int n,m,rt,cnt; int a[N],id[N],fa[N],c[N][2]; int sum[N],sz[N],v[N],mx[N],lx[N],rx[N]; bool tag[N],rev[N]; //tag表示是否有统一修改的标记，rev表示是否有统一翻转的标记 //sum表示这个点的子树中的权值和，v表示这个点的权值 queue<int> q; inline int read(){ rint x=0,f=1;char ch=getchar(); while (ch<'0' || ch>'9'){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while ('0'<=ch && ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); return x*f; } inline void pushup(rint x){ rint l=c[x][0],r=c[x][1]; sum[x]=sum[l]+sum[r]+v[x]; sz[x]=sz[l]+sz[r]+1; mx[x]=max(mx[l],max(mx[r],rx[l]+v[x]+lx[r])); lx[x]=max(lx[l],sum[l]+v[x]+lx[r]); rx[x]=max(rx[r],sum[r]+v[x]+rx[l]); } //上传记录标记 inline void pushdown(rint x){ rint l=c[x][0],r=c[x][1]; if (tag[x]){ rev[x]=tag[x]=0;//我们有了一个统一修改的标记，再翻转就没有什么意义了 if (l)tag[l]=1,v[l]=v[x],sum[l]=v[x]*sz[l]; if (r)tag[r]=1,v[r]=v[x],sum[r]=v[x]*sz[r]; if (v[x]>=0){ if (l)lx[l]=rx[l]=mx[l]=sum[l]; if (r)lx[r]=rx[r]=mx[r]=sum[r]; }else{ if (l)lx[l]=rx[l]=0,mx[l]=v[x]; if (r)lx[r]=rx[r]=0,mx[r]=v[x]; } } if (rev[x]){ rev[x]=0;rev[l]^=1;rev[r]^=1; swap(lx[l],rx[l]);swap(lx[r],rx[r]); //注意，在翻转操作中，前后缀的最长上升子序列都反过来了，很容易错 swap(c[l][0],c[l][1]);swap(c[r][0],c[r][1]); } } //下传标记 inline void rotate(rint x,rint &k){ rint y=fa[x],z=fa[y],l=(c[y][1]==x),r=l^1; if (y==k)k=x;else c[z][c[z][1]==y]=x; fa[c[x][r]]=y;fa[y]=x;fa[x]=z; c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y; pushup(y);pushup(x); //旋转操作，一定要上传记录标记 } inline void splay(rint x,rint &k){ while (x!=k){ int y=fa[x],z=fa[y]; if (y!=k){ if (c[z][0]==y ^ c[y][0]==x)rotate(x,k); else rotate(y,k); } rotate(x,k); } } //这是整个程序的核心之一，毕竟是伸展操作嘛 inline int find(rint x,rint rk){ pushdown(x); //因为所有的操作都需要find，所以我们只需在这里下传标记就行了 rint l=c[x][0],r=c[x][1]; if (sz[l]+1==rk)return x; if (sz[l]>=rk)return find(l,rk); else return find(r,rk-sz[l]-1); } //这个find是我们整个程序的核心之二 //因为我们的区间翻转和插入及删除的操作的存在 //我们维护的区间的实际编号并不是连续的 //而，我们需要操作的区间又对应着平衡树的中序遍历中的那段区间 //所以这个find很重要 inline void recycle(rint x){ rint &l=c[x][0],&r=c[x][1]; if (l)recycle(l); if (r)recycle(r); q.push(x); fa[x]=l=r=tag[x]=rev[x]=0; } //这就是用时间换空间的回收冗余编号机制，很好理解 inline int split(rint k,rint tot){ rint x=find(rt,k),y=find(rt,k+tot+1); splay(x,rt);splay(y,c[x][1]); return c[y][0]; } //这个split操作是整个程序的核心之三 //我们通过这个split操作，找到[k+1,k+tot]，并把k,和k+tot+1移到根和右儿子的位置 //然后我们返回了这个右儿子的左儿子，这就是我们需要操作的区间 inline void query(rint k,rint tot){ rint x=split(k,tot); printf("%d\n",sum[x]); } inline void modify(rint k,rint tot,rint val){ rint x=split(k,tot),y=fa[x]; v[x]=val;tag[x]=1;sum[x]=sz[x]*val; if (val>=0)lx[x]=rx[x]=mx[x]=sum[x]; else lx[x]=rx[x]=0,mx[x]=val; pushup(y);pushup(fa[y]); //每一步的修改操作，由于父子关系发生改变 //及记录标记发生改变，我们需要及时上传记录标记 } inline void rever(rint k,rint tot){ rint x=split(k,tot),y=fa[x]; if (!tag[x]){ rev[x]^=1; swap(c[x][0],c[x][1]); swap(lx[x],rx[x]); pushup(y);pushup(fa[y]); } //同上 } inline void erase(rint k,rint tot){ rint x=split(k,tot),y=fa[x]; recycle(x);c[y][0]=0; pushup(y);pushup(fa[y]); //同上 } inline void build(rint l,rint r,rint f){ rint mid=(l+r)>>1,now=id[mid],pre=id[f]; if (l==r){ mx[now]=sum[now]=a[l]; tag[now]=rev[now]=0; //这里这个tag和rev的清0是必要，因为这个编号可能是之前冗余了 lx[now]=rx[now]=max(a[l],0); sz[now]=1; } if (l<mid)build(l,mid-1,mid); if (mid<r)build(mid+1,r,mid); v[now]=a[mid]; fa[now]=pre; pushup(now); //上传记录标记 c[pre][mid>=f]=now; //当mid>=f时，now是插入到又区间取了，所以c[pre][1]=now，当mid<f时同理 } inline void insert(rint k,rint tot){ For(i,1,tot)a[i]=read(); For(i,1,tot) if (!q.empty())id[i]=q.front(),q.pop(); else id[i]=++cnt;//利用队列中记录的冗余节点编号 build(1,tot,0);//将读入的tot个树建成一个平衡树 rint z=id[(1+tot)>>1];//取中点为根 rint x=find(rt,k+1),y=find(rt,k+2); //首先，依据中序遍历，找到我们需要操作的区间的实际编号 splay(x,rt);splay(y,c[x][1]); //把k+1(注意我们已经右移了一个单位）和(k+1)+1移到根和右儿子 fa[z]=y;c[y][0]=z; //直接把需要插入的这个平衡树挂到右儿子的左儿子上去就好了 pushup(y);pushup(x); //上传记录标记 } //对于具体在哪里上传标记和下传标记 //可以这么记，只要用了split就要重新上传标记 //只有find中需要下传标记 //但其实，你多传几次是没有关系的，但是少传了就不行了 int main(){ n=read(),m=read(); mx[0]=a[1]=a[n+2]=-inf; For(i,1,n)a[i+1]=read(); For(i,1,n+2)id[i]=i;//虚拟了两个节点1和n+2，然后把需要操作区间整体右移一个单位 build(1,n+2,0);//建树 rt=(n+3)>>1;cnt=n+2;//取最中间的为根 rint k,tot,val;char ch[10]; while (m--){ scanf("%s",ch); if (ch[0]!='M' || ch[2]!='X') k=read(),tot=read(); if (ch[0]=='I')insert(k,tot); if (ch[0]=='D')erase(k,tot); if (ch[0]=='M'){ if (ch[2]=='X')printf("%d\n",mx[rt]); else val=read(),modify(k,tot,val); } if (ch[0]=='R')rever(k,tot); if (ch[0]=='G')query(k,tot); } return 0; } ```