题解 P4781 【【模板】拉格朗日插值】
JustinRochester
2019-04-24 13:44:10
[题目](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4781)
本蒟蒻看到一道数学题，就顺手切了。感觉单单对这一题而言，部分评论区的大佬过于复杂了
**【分析】**
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先讲讲拉格朗日插值法：
对于给定的 $(n+1)$ 个点，我们可以确定唯一的一个 **至多$n$次** 函数 $f(x)$
这里简单解释一下为什么是唯一的至多 $n$ 次：
若给定 $(n+1)$ 个点，理论上可以确定一个 $n$ 次函数 $f(x)$ 。但 $f(x)$ 可以前几项系数为 $0$ 。因此，本蒟蒻按照数学上的定义，认为它是至多 $n$ 次的。
若给定 $(n+1)$ 个点，肯定还能给出其他的 $k$ 个点使得函数 $f(x)$ 变为至多 $(n+k)$ 次。由于其他 $k$ 个点未知，故原本的这些点能确定无数个更高次数的函数。
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拉格朗日插值法的优秀就在于，它能不需要用高斯消元法，就能求出这个至多 $n$ 次函数
按照朴素思路，我们是构造一个矩阵，然后高斯消元法 $O(n^3)$ ，肯定是不够的 （P.S.因为本蒟蒻实在太菜，不懂有没有更优的算法优化高斯消元法）。
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拉格朗日插值法的思路很简单，按照题目样例一给的三个点：
```
1 4
2 9
3 16
```
我们假设有以下 $3$ 个函数：
$G_1(x)=(x-2)(x-3)$
$G_2(x)=(x-1)(x-3)$
$G_3(x)=(x-1)(x-2)$
因此，显然有
$G_1(2)=G_1(3)=0\ ,\ G_2(1)=G_2(3)=0\ ,\ G_3(1)=G_3(2)=0$
所以我们需要的原函数可以写为：
$f(x)=A_1G_1(x)+A_2G_2(x)+A_3G_3(x)$
那就很显然有
$\begin{cases}f(1)=A_1G_1(1)+A_2\times0+A_3\times 0=A_1G_1(1)\\f(2)=A_1\times 0+A_2G_2(2)+A_3\times 0=A_2G_2(2)\\f(3)=A_1\times 0+A_2\times 0+A_3G_3(3)=A_3G_3(3)\end{cases}$
再根据题意和计算：
$\begin{cases}f(1)=4,G_1(1)=2\\f(2)=9,G_2(2)=-1\\f(3)=16,G_3(3)=2\end{cases}$
倒代回去可以解得：
$f(x)=2(x-2)(x-3)-9(x-1)(x-3)+8(x-1)(x-2)=(x+1)^2$
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当然，你会发现，这样是在代入 $k$ 只需要 $O(n)$ ，但这么做并没有更简单。
~~当然啦~~ ，但是我们求的不是 $f(x)$ ，只是 $f(k)$ 啊！
所以我们先提取一下上面的思路：
给定 $n$ 个点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\dots(x_n,y_n)$
我们先设定一个 $\displaystyle G_i(x)=\prod_{j=1}^{i-1}(x-x_j)\cdot\prod_{j=i+1}^n(x-x_j)$
即 $\displaystyle G_i(x)=\prod_{j=1\&j\neq i}^n(x-x_j)$
再另 $\displaystyle g(x)=\prod_{i=1}^n(x-x_i)$
因此 $\forall i\in[1,n]\bigcap Z,g(x_i)=0$
所以有 $G_i(k)(k-x_i)=g(k)$
且 $\forall j\neq i,G_i(x_j)=0$
由上述式子设 $\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^nA_iG_i(x)$
倒代入点的坐标得：
$\displaystyle y_i=f(x_i)=\sum_{i=1}^nA_iG_i(x_i)=A_iG_i(x_i)$
因此 $A_i=y_i[G_i(x_i)]^{-1}$
所以代入原式得：
$\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^ny_i[G_i(x_i)]^{-1}G_i(x)$
我们分类讨论一下：
1. 若 $\exists i\in [1,n]\bigcap Z,k=x_i$ ， $f(k)=f(x_i)=y_i$ ，算都不用算
2. 若 $\forall i\in[1,n]\bigcap Z,k\neq x_i$
$g(k)\neq0$
由 $G_i(k)(k-x_i)=g(k)$ 得
$G_i(k)=g(k)(k-x_i)^{-1}$
代入原式：
$\displaystyle f(k)=\sum_{i=1}^ny_i[G_i(x_i)]^{-1}G_i(k)=\sum_{i=1}^ny_i[G_i(x_i)]^{-1}g(k)(k-x_i)^{-1}$
~~看起来更复杂了~~
但是，我们可以注意到，$g(k)$ 对于 $i$ 而言，是定值
还有 $[G_i(x_i)]^{-1}$ 与 $(k-x_i)^{-1}$ 肯定是可以合并的
所以我们按这个方法，整理原式得：
$\displaystyle f(k)=g(k)\cdot\sum_{i=1}^ny_i[G_i(x_i)(k-x_i)]^{-1}$
另 $Inv(x)$ 表示数 $x$ 在模 $998244353$ 下的逆元
就有： $\displaystyle f(k)=g(k)\cdot\sum_{i=1}^ny_i\cdot Inv[G_i(x_i)(k-x_i)]$
至于 $g(k)$ 是一个 $O(n)$ 扫过去的事
$G_i(x_i)$ 也是一个 $O(n)$ 扫过去的事
乘一下，用 **exgcd** 或者 **欧拉定理加快速幂** 可以一个 $O(\log n)$ 求出逆元
所以求和符号内的复杂度为 $O(n)+O(\log n)=O(n)$
套个求和符号就是 $O(n\times n)=O(n^2)$
复杂度上肯定是过得了了
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总结一下，就是：
$f(k)=\begin{cases}y_i,k=x_i\\g(k)\sum_{i=1}^ny_iInv[G_i(x_i)(k-x_i)]\end{cases}$
那求逆元本蒟蒻是用了非递归的 exgcd ，众位大犇可以直接看本蒟蒻的代码
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**【代码】**
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那本蒟蒻就放 ~~我码风极丑的~~ 代码了
```cpp
#include<cstdio>
using namespace std;
#define f(a,b,c,d) for(register int a=b,c=d;a<=c;a++)
#define g(a,b,c,d) for(register int a=b,c=d;a>=c;a--)
typedef int i32;
typedef long long i64;
const i64 Mod=998244353;
inline char gc(){
static char s[1<<20|1],*p1=s,*p2=s;
return (p1==p2)&&(p2=(p1=s)+fread(s,1,1<<20,stdin),p1==p2)?EOF:*(p1++);
}
inline i64 read(){
register i64 ans=0;register bool neg=0;register char c=gc();
while(c<48||c>57) neg^=!(c^'-'),c=gc();
while(c>=48&&c<=57) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=gc();
return neg?-ans:ans;
}
inline void input(i64 &lld_X,i64 &lld_Y,i64 &lld_Bas,i64 lld_K){
lld_X=read();
lld_Y=read();
lld_K-=lld_X;
if(lld_K<0) lld_K+=Mod;
if(lld_K<0) lld_K+=Mod;
lld_Bas*=lld_K;
lld_Bas%=Mod;
}
inline i64 Inv(i64 lld_A){
register i64 lld_Tmp[10000]={0},lld_Cur=1;
register i64 lld_X=1,lld_Y=0,lld_B=Mod;
lld_Tmp[0]=lld_A/lld_B;
while(lld_B^=lld_A^=lld_B^=lld_A%=lld_B)
lld_Tmp[lld_Cur++]=lld_A/lld_B;
while(lld_Cur--)
lld_Y^=lld_X^=lld_Y^=lld_X-=lld_Tmp[lld_Cur]*lld_Y;
lld_X%=Mod;
if(lld_X<0) lld_X+=Mod;
return lld_X;
}
inline i64 calc(i64 lld_X[],i64 lld_Y,i32 d_Pos,i32 d_N,i64 lld_K){
i64 lld_Ans=1;
f(i,1,I,d_Pos-1)
lld_Ans=lld_Ans*(lld_X[d_Pos]-lld_X[i])%Mod;
f(i,d_Pos+1,I,d_N)
lld_Ans=lld_Ans*(lld_X[d_Pos]-lld_X[i])%Mod;
lld_Ans=lld_Ans*(lld_K-lld_X[d_Pos])%Mod;
if(lld_Ans<0) lld_Ans+=Mod;
return Inv(lld_Ans)*lld_Y%Mod;
}
inline void print(i64 lld_Ans){
char s[20]={0};
fwrite(s,1,sprintf(s,"%lld",lld_Ans),stdout);
}
i32 main(){
i32 d_N=read();
i64 lld_K=read(),lld_X[2048]={0},lld_Y[2048]={0},lld_Bas=1,lld_Ans=0;
f(i,1,I,d_N){
input(lld_X[i],lld_Y[i],lld_Bas,lld_K);
if(lld_X[i]==lld_K){
print(lld_Y[i]);
return 0;
}
}
f(i,1,I,d_N){
lld_Ans+=calc(lld_X,lld_Y[i],i,d_N,lld_K);
if(lld_Ans>=Mod) lld_Ans-=Mod;
}
lld_Ans=lld_Ans*lld_Bas%Mod;
print(lld_Ans);
return 0;
}
```
最后安利一下 [本蒟蒻的博客](https://www.luogu.org/blog/JustinRochester/)