题解 P1044 【栈】

#卡特兰数 这是一道经典的卡特兰数例题 卡特兰数有四个公式，显然这题数据太水都可过，但我们要分析每个公式的用处。 **以下内容神犇请无视（话说神犇也不会看这种水题的题解）** ##公式一 **递归公式** h(0)=h(1)=1 h(n)= h(0)\*h(n-1)+h(1)\*h(n-2) + ... + h(n-1)\*h(0) (n>=2) 如果我们用这个公式显然我们要使用递归算法，那么数据一大就在时空上很麻烦 ##公式二 **递推公式** h(n)=h(n-1)\*(4\*n-2)/(n+1) 这个公式应用递推，看上起十分和善 但对大数据呢？ 我们注意到大数据的时候h(n)会很大，这时候题目一般会让你对某素数取模（当然你可以打高精度（划掉）） 但你在取模过程中难保一个h(n)%mod=0 那么根据公式下面所有的数都会等于0，于是你就愉快的WA了 ##公式三 **组合数公式1** h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...) 卡特兰数可以与组合数联系起来，得到上面的公式 而组合数就是一个杨辉三角，可以递推得到（这个不属于这道题的讨论范围我假装你们都会（逃）） 但我们发现对于大数据你要取模，而对于除法你是没办法用膜的性质的（当然你可以应用逆元（划掉）），所以造成了麻烦 ##公式四 **组合数公式2** h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1) (n=0,1,2,...) 与组合数公式1不同这个是两个组合数的减法 减法是可以用膜的性质的，于是你可以愉快的AC了。 所以我写了这么多就是想说，对于一个特定的任务，可能会有很多方法求解，但其实只要稍稍分析一下就会发现有一种方法是通用而优美的，我在没认真思考前都是记的四个公式，但是有一天我真的认真想过后才发现其实我就记住公式四就好了。 所以学习啊，还是要学会认真思（tou）考（lan） ```cpp #include<cstdio> #define siz 20 using namespace std; int n; int c[siz*2][siz]; int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=2*n;i++) c[i][1]=c[i][i]=1; for(int i=3;i<=2*n;i++) for(int j=2;j<i;j++) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1]; printf("%d",c[2*n][n]-c[2*n][n-1]); return 0; } ```