CF57D 题解

给定一张 $n \times m$ 的网格图，其中有障碍，每行每列不超过一个，每个障碍周围 $8$ 格无障碍。求任选两个无障碍点之间路径的期望长度。 考虑推一下路径期望长度的式子：设无障碍点为“好点”，有障碍点为“坏点”，两个不同“好点” $i$ 和 $j$ 之间的距离为 $d(i,j)$ 。“好点”总数为 $p$ 。则路径期望长度 $= \frac{\sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p d(i,j)}{p^2}$ 。 然后推两个不同“好点”间距离：对于大部分“好点”，两点间距离就是其曼哈顿距离。而对于如下图中的 $A$ 点和 $B$ 点（左边的“好点”同行右侧有“坏点” $1$ 、右边的“好点”同行左侧有“坏点” $2$ 且“坏点” $1$ 在“坏点” $2$ 左侧），则两“好点”间距为其曼哈顿距离 $+2$ 。  然后就是计算曼哈顿距离：考虑分行和列分别来做。 以行为例，枚举行数 $a$ ，对于每一行的“好点”整体计算在竖直方向走过的距离。如下图，对于一个“好点” $(a,b)$ ，其到第 $c$ 行所有点竖直方向上的距离之和等于第 $c$ 行所有“好点”的数量 $\times$ 第 $c$ 行与第 $a$ 行之间的距离差。 由题可知每行有 $m$ 个点，则第 $c$ 行有“坏点”时，对答案贡献了 $(m-1) \times abs(c-a)$ （如下图 $Case$ $1$ ）；第 $c$ 行没有“坏点”时，对答案贡献了 $m \times abs(c-a)$ （如下图 $Case$ $2$ ）。   最后考虑曼哈顿距离 $+2$ 的“好点”如何补上 $2$ 的绕路：之前大多数人听到的做法会有重复，我这儿讲一个不去重的！ 还是分行和列考虑：以行为例，枚举行数 $a$ 。当第 $a$ 行有“坏点”时，这个“坏点”左边所有的点都有可能绕路。 检查上下的所有行，维护一个块（如下图蓝色部分）使得在这个块之内所有的“好点”都需要绕路： 向下维护时，只要当前行的“坏点”在其下面一行的“坏点”的左边，就可以将该“坏点”右边的所有点加入块内； 如果当前行的“坏点”在其上面一行的“坏点”的右边，则将该“坏点”右边的所有“好点”加入块内后结束维护（如红色“好点”均不需要加入块内）。整个块的下边缘向右下方发展。 向上维护时同理，整个块的下边缘向右上方发展。上下都结束之后，设蓝点总数为 $q$ ，对于第 $a$ 行的一个点 $(a,b)$ 来说，它到块内任何一个点的绕路都为 $2 \times q$ 。 这样就计算了一次从左上方到右下方的“好点”和从左下方到右上方的“好点”的路径。此时只要将刚刚计算的值 $\times 2$ ，便得出了该“好点”到所有需要绕路的“好点”和所有需要绕路到该“好点”去的“好点”绕路长之和。 算出该值后，乘上第 $a$ 行“坏点”左边的“好点”的个数加入答案即可。  每一行做完一次如下的操作后，枚举列再做一次类似的操作即可。 整个过程就是这样，如果还没明白或者觉得需要证明的，评论区见！感谢您的耐心阅读！ 代码如下： ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; inline int read() { int ret=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<'0') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { ret=(ret<<1)+(ret<<3)+ch-'0'; ch=getchar(); } return ret*f; } int n,m,totx,tot,hangx[2005],liex[2005]; double ans; char s[2005]; inline long long finds(int n,int m,int a[]) { long long ret=0; for(register int i=1;i<=n;i++) { long long sum=0,cnt=m-a[i]; for(register int j=1;j<=n;j++) { if(a[j]) sum+=(m-1)*abs(i-j); else sum+=m*abs(i-j); } if(a[i]) ret+=(m-1)*sum; else ret+=m*sum; if(a[i]) { int l=i-1,r=i+1; while(a[l+1]<a[l]) { cnt+=m-a[l]; l--; } while(a[r-1]<a[r]) { cnt+=m-a[r]; r++; } ret+=4*cnt*(a[i]-1); } } return ret; } int main() { n=read(); m=read(); for(register int i=1;i<=n;i++) { scanf("%s",&s); for(register int j=1;j<=m;j++) { if(s[j-1]=='X') { hangx[i]=j; liex[j]=i; totx++; } } } tot=n*m-totx; ans=(finds(n,m,hangx)+finds(m,n,liex))*1.0/tot/tot; printf("%0.6lf\n",ans); return 0; } ```