平衡树【Treap】

平衡树的板题，用Treap实现。 具体参见注释，写的很详细了，包括了原理，实现以及注意事项 ~~蒟蒻写个注释板子写了两天，太弱了QAQ~~ 感谢[niiick](https://www.luogu.org/space/show?uid=60885)指导 # Code ```cpp #include<iostream> #include<cstdio> #include<queue> #include<cstring> #include<algorithm> #include<climits> typedef long long LL; using namespace std; int RD(){ int out = 0,flag = 1;char c = getchar(); while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();} while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();} return flag * out; } //第一次打treap，不压行写注释XD const int maxn = 1000019,INF = 1e9; //平衡树，利用BST性质查询和修改，利用随机和堆优先级来保持平衡，把树的深度控制在log N，保证了操作效率 //基本平衡树有以下几个比较重要的函数：新建，插入，删除，旋转 //节点的基本属性有val(值)，dat(随机出来的优先级) //通过增加属性，结合BST的性质可以达到一些效果，如size(子树大小，查询排名)，cnt(每个节点包含的副本数)等 int na; int ch[maxn][2];//[i][0]代表i左儿子，[i][1]代表i右儿子 int val[maxn],dat[maxn]; int size[maxn],cnt[maxn]; int tot,root; int New(int v){//新增节点， val[++tot] = v;//节点赋值 dat[tot] = rand();//随机优先级 size[tot] = 1;//目前是新建叶子节点，所以子树大小为1 cnt[tot] = 1;//新建节点同理副本数为1 return tot; } void pushup(int id){//和线段树的pushup更新一样 size[id] = size[ch[id][0]] + size[ch[id][1]] + cnt[id];//本节点子树大小 = 左儿子子树大小 + 右儿子子树大小 + 本节点副本数 } void build(){ root = New(-INF),ch[root][1] = New(INF);//先加入正无穷和负无穷，便于之后操作(貌似不加也行) pushup(root);//因为INF > -INF,所以是右子树， } void Rotate(int &id,int d){//id是引用传递，d(irection)为旋转方向，0为左旋，1为右旋 int temp = ch[id][d ^ 1];//旋转理解：找个动图看一看就好(或参见其他OIer的blog) ch[id][d ^ 1] = ch[temp][d];//这里讲一个记忆技巧，这些数据都是被记录后马上修改 ch[temp][d] = id;//所以像“Z”一样 id = temp;//比如这个id，在上一行才被记录过，ch[temp][d]、ch[id][d ^ 1]也是一样的 pushup(ch[id][d]),pushup(id);//旋转以后size会改变，看图就会发现只更新自己和转上来的点，pushup一下,注意先子节点再父节点 }//旋转实质是({在满足BST的性质的基础上比较优先级}通过交换本节点和其某个叶子节点)把链叉开成二叉形状(从而控制深度)，可以看图理解一下 void insert(int &id,int v){//id依然是引用，在新建节点时可以体现 if(!id){ id = New(v);//若节点为空，则新建一个节点 return ; } if(v == val[id])cnt[id]++;//若节点已存在，则副本数++; else{//要满足BST性质，小于插到左边，大于插到右边 int d = v < val[id] ? 0 : 1;//这个d是方向的意思，按照BST的性质，小于本节点则向左，大于向右 insert(ch[id][d],v);//递归实现 if(dat[id] < dat[ch[id][d]])Rotate(id,d ^ 1);//(参考一下图)与左节点交换右旋，与右节点交换左旋 } pushup(id);//现在更新一下本节点的信息 } void Remove(int &id,int v){//最难de部分了 if(!id)return ;//到这了发现查不到这个节点，该点不存在，直接返回 if(v == val[id]){//检索到了这个值 if(cnt[id] > 1){cnt[id]--,pushup(id);return ;}//若副本不止一个，减去一个就好 if(ch[id][0] || ch[id][1]){//发现只有一个值，且有儿子节点,我们只能把值旋转到底部删除 if(!ch[id][1] || dat[ch[id][0]] > dat[ch[id][1]]){//当前点被移走之后，会有一个新的点补上来(左儿子或右儿子)，按照优先级，优先级大的补上来 Rotate(id,1),Remove(ch[id][1],v);//我们会发现，右旋是与左儿子交换，当前点变成右节点；左旋则是与右儿子交换，当前点变为左节点 } else Rotate(id,0),Remove(ch[id][0],v); pushup(id); } else id = 0;//发现本节点是叶子节点，直接删除 return ;//这个return对应的是检索到值de所有情况 } v < val[id] ? Remove(ch[id][0],v) : Remove(ch[id][1],v);//继续BST性质 pushup(id); } int get_rank(int id,int v){ if(!id)return 1;//若查询值不存在，返回；因为最后要减一排除哨兵节点，想要结果为-1这里就返回0 if(v == val[id])return size[ch[id][0]] + 1;//查询到该值，由BST性质可知：该点左边值都比该点的值(查询值)小，故rank为左儿子大小 + 1 else if(v < val[id])return get_rank(ch[id][0],v);//发现需查询的点在该点左边，往左边递归查询 else return size[ch[id][0]] + cnt[id] + get_rank(ch[id][1],v);//若查询值大于该点值。说明询问点在当前点的右侧，且此点的值都小于查询值，所以要加上cnt[id] } int get_val(int id,int rank){ if(!id)return INF;//一直向右找找不到，说明是正无穷 if(rank <= size[ch[id][0]])return get_val(ch[id][0],rank);//左边排名已经大于rank了，说明rank对应的值在左儿子那里 else if(rank <= size[ch[id][0]] + cnt[id])return val[id];//上一步排除了在左区间的情况，若是rank在左与中(目前节点)中，则直接返回目前节点(中区间)的值 else return get_val(ch[id][1],rank - size[ch[id][0]] - cnt[id]);//剩下只能在右区间找了，rank减去左区间大小和中区间，继续递归 } int get_pre(int v){ int id = root,pre;//递归不好返回，以循环求解 while(id){//查到节点不存在为止 if(val[id] < v)pre = val[id],id = ch[id][1];//满足当前节点比目标小，往当前节点的右侧寻找最优值 else id = ch[id][0];//无论是比目标节点大还是等于目标节点，都不满足前驱条件，应往更小处靠近 } return pre; } int get_next(int v){ int id = root,next; while(id){ if(val[id] > v)next = val[id],id = ch[id][0];//同理，满足条件向左寻找更小解(也就是最优解) else id = ch[id][1];//与上方同理 } return next; } int main(){ build();//不要忘记初始化[运行build()会连同root一并初始化，所以很重要] na = RD(); for(int i = 1;i <= na;i++){ int cmd = RD(),x = RD(); if(cmd == 1)insert(root,x);//函数都写好了，注意：需要递归的函数都从根开始，不需要递归的函数直接查询 else if(cmd == 2)Remove(root,x); else if(cmd == 3)printf("%d\n",get_rank(root,x) - 1);//注意：因为初始化时插入了INF和-INF,所以查询排名时要减1(-INF不是第一小，是“第零小”) else if(cmd == 4)printf("%d\n",get_val(root,x + 1));//同理，用排名查询值得时候要查x + 1名，因为第一名(其实不是)是-INF else if(cmd == 5)printf("%d\n",get_pre(x)); else if(cmd == 6)printf("%d\n",get_next(x)); } return 0; } ``` --- # Upd 20.08.09 高考完了回来看看 首先是回复一下评论区的问题： ### By @Van_Darkholmcnt ：cnt数组记的副本数指的是什么 副本数记录的是当前节点对应数的个数，比如说有 $3$ 个大小为 $1$ 的数，$1$对应节点的 $cnt$ 就为 $3$ ### By @性别男爱好女 ：为什么优先级是随机的 本篇题解注重的是代码对 $Treap$ 的实现，随机优先级的复杂度为 $O(log$ $N)$ 是经过了严谨的证明的。很惭愧，怀着一丝丝功利心搞竞赛的我并没有想过要去了解这个算法的本质，所以以我目前的水平无法解决你的问题。但若是真的感兴趣的话可以参照： ### “ _我们可以看到，如果一个二叉排序树节点插入的顺序是随机的，这样我们得到的二叉排序树大多数情况下是平衡的，即使存在一些极端情况，但是这种情况发生的概率很小，所以我们可以这样建立一颗二叉排序树，而不必要像AVL那样旋转，可以证明随机顺序建立的二叉排序树在期望高度是O(logn)，但是某些时候我们并不能得知所有的带插入节点，打乱以后再插入。所以我们需要一种规则来实现这种想法，并且不必要所有节点。也就是说节点是顺序输入的，我们实现这一点可以用Treap。（摘自百度百科）_ ### ” ### By @daisijie @garbage2 ：有关随机数 $rand()$ 是包括在 #$include <stdlib.h>$ 库中的函数 随机数种子的作用是提供（生成）一个序列来取随机数，在一次运行中，即使种子相同，第二个生成的随机数也和第一个生成的随机数没有必然联系。 但运行两次程序，第二次运行生成的随机数必定和第一次生成的相同 所以是不需要用 srand((unsigned)time(0)) 初始化的 [可以参照这篇博客](https://blog.csdn.net/qq_42900286/article/details/89433759) # Upd 22.07.27 ### 关于数据加强版Hack [当时这篇讨论说的很明白了](https://www.luogu.com.cn/discuss/313582)，但是被刷下去了大伙也看不到，这里补一下传送门。代码本身是没得错的，感谢小伙伴们指出：D # 写在最后 回洛谷看看，是怀着一丝敬佩的。 竞赛加分取消后，身边不知多少人多少学校将 $OI$ 扔进了垃圾堆。 我这个人吧是那种不爱看重成绩去什么什么很好的大学才有出路。 但即便是我，也不能说当初选择信息竞赛没有考虑过功利。 谁不曾梦想过金牌保送清北呢？ 肉麻的话我说不出，也不想说。 但你们，仍然坚持着的你们，实实在在地仍挺直着不屈的脊背。 你们是凭着一片热忱还坚守着这片土地啊！ 也许有一天，你发现，付出了许多的你，和也许没那么努力的其他人相比，都能踏入挺厉害的大学，都有着美好的前程。 你也许会浮想联翩：要是我当初没踏足 $OI$ ，我会不会在一个更好的地方？ 这时，请不要后悔。 **绕远的路，总有风景。**