题解 P1169 【[ZJOI2007]棋盘制作】

2018-08-14 06:19:07


z

你没有发现两个字里的blog都不一样嘛 qwq

题目描述-->p1169 棋盘制作

题目大意

 给定一个01棋盘,求其中01交错的最大正方形与矩形。

解题思路:

 动态规划---悬线法

以下内容部分参考@Clove_unique

悬线法

用途:

  解决给定矩阵中满足条件的最大子矩阵

做法:

  用一条线(横竖貌似都行)左右移动直到不满足约束条件或者到达边界

定义几个东西:

   $left[i][j]$ :代表从 $(i,j)$ 能到达的最左位置

   $right[i][j]$ :代表从 $(i,j)$ 能到达的最右位置

   $up[i][j]$ :代表从 $(i,j)$ 向上扩展最长长度.

递推公式:

$$left[i][j]=max(left[i][j],left[i-1][j]$$ 

$$right[i][j]=min(right[i][j],right[i-1][j]$$ 

至于为什么递推公式中考虑上一层的情况?

  是因为up数组的定义,up数组代表向上扩展最长长度, 所以需要考虑上一层的情况.

解决

  求解正方形&&长方形的情况即可。

题目要求01交错,所以"!="即可

-------------------代码-------------------

#include<bits/stdc++.h>
#define IL inline
#define RI register int
#define maxn 2001
using namespace std;
IL void read(int &x){
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s<='9'&&s>='0'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
int res[maxn][maxn],left[maxn][maxn],right[maxn][maxn],up[maxn][maxn];
int n,m,ans1,ans2;
int main()
{
    read(n),read(m);
    for(RI i=1;i<=n;i++)
        for(RI j=1;j<=m;j++)
            {
                read(res[i][j]);
                left[i][j]=right[i][j]=j;
                up[i][j]=1;
            }
    for(RI i=1;i<=n;i++)
        for(RI j=2;j<=m;j++)
            if(res[i][j]!=res[i][j-1])
                left[i][j]=left[i][j-1];//预处理左边界
    for(RI i=1;i<=n;i++)
        for(RI j=m-1;j>0;j--)
            if(res[i][j]!=res[i][j+1])
                right[i][j]=right[i][j+1];//预处理右边界
    for(RI i=1;i<=n;i++)
        for(RI j=1;j<=m;j++)
            {
                if(i>1&&res[i][j]!=res[i-1][j])
                {
                    left[i][j]=max(left[i][j],left[i-1][j]);
                    right[i][j]=min(right[i][j],right[i-1][j]);
                    up[i][j]=up[i-1][j]+1;
                }
                int a=right[i][j]-left[i][j]+1; //横向长度
                int b=min(a,up[i][j]);//竖向长度
                //printf("a:%d b:%d\n",a,b);
                ans1=max(ans1,b*b);//正方形
                ans2=max(ans2,a*up[i][j]);//长方形
            }
    printf("%d\n%d",ans1,ans2);
}

悬线法题目:P1169 棋盘制作 p4147 玉蟾宫 p2701 巨大的牛棚 p1387 最大正方形

UPD

2018.09.26

Q :如图这种情况下,我们根据状态转移方程求出的是黑色部分的面积.而实际上我们更大的面积为红色部分,这样的话,悬线法不就错了?

(如果你也有这方面的疑惑,请细读下面的话)

A:红色部分会被考虑到.

考虑我们代码中的这一部分

if(i>1&&res[i][j]!=res[i-1][j])
{
    left[i][j]=max(left[i][j],left[i-1][j]);
    right[i][j]=min(right[i][j],right[i-1][j]);
    up[i][j]=up[i-1][j]+1;
}

if语句执行的条件是 $res[i][j]!=res[i-1][j]$ ,即只有满足条件的情况下我们才能更改当前位置 $(i,j)$ 的 $left$ 数组与 $right$ 数组.

不满足条件时,我们当前位置 $(i,j)$ 的 $left,right,up$ 数组并不会改变.

所以说当再次进行状态转移的时候,我们又能根据图中这些未被更新的点(即蓝色部分)的数组去求解出红色部分的面积.

还有一点需要注意的是,在某一行的一段的合法序列中,他们的 $left$ 数组与 $right$ 数组所指位置相同.(这个根据状态转移方程应该不难理解.

例如这样,这一段合法序列中位置的 $left[i][j]$ 所指位置皆为红色部分, $right[i][j]$ 所指位置皆为蓝色部分.

如果不能理解的话可以私信问我的 qwq.

已经尽力写的很详细啦