题解 P2483 【【模板】k短路（[SDOI2010]魔法猪学院）】
Cyhlnj
2018-09-19 17:46:47
[俞鼎力大牛的课件](http://www.docin.com/p-1387370338.html)
对于原图以 $t$ 为根建出任意一棵最短路径树 $T$，即反着从 $t$ 跑出到所有点的最短路 $dis$
它有一些性质：
**性质1：**
对于一条 $s$ 到 $t$ 的路径的边集 $P$，去掉 $P$ 中和 $T$ 的交集，记为 $P'$。
那么 $P'$ 对于中任意相邻(从 $s$ 到 $t$ 的顺序)的两条边 $e,f$，满足 $f$ 的起点在 $T$ 中为 $e$ 的终点的祖先或者为相同点。
因为 $P$ 中 $e,f$ 之间由树边相连或者直接相连。
**性质2：**
对于不在 $T$ 中的边 $e$ ，设 $u$ 为起点，$v$ 为终点，$w$为权值。
定义 $\Delta_e=dis_v+w-dis_u$，即选这条边的路径和最短路的长度的差
设 $L_P$ 表示路径长度，则有
$$L_P=dis_s+\sum_{e\in p'}\Delta_e$$
这很显然。
**性质3：**
对于满足性质 $1$ 的 $P'$的定义的边集 $S$，有且仅有一条 $s$ 到 $t$ 的路径的边集 $P$，使得 $P'=S$。
因为树 $T$ 上的两个点之间有且仅有一条路径。
**问题转化**
求第 $k$ 小的满足性质 $1$ 的 $P'$的定义的边集
**算法**
用小根堆维护边集 $P$
初始 $P$ 为空集（实际上只要维护边集当前尾部的边的起点是哪一个就好了，空集即 $s$）
每次取出最小权值的边集 $P$，设当前尾部的边的起点为 $x$
有两种方法可以得到一个新的边集：
**1.**替换 $x$ 为起点的这条边为一条刚好大于等于它的非树边。
**2.**尾部接上一条起点为以 $x$ 为起点的这条边的终点在 $T$ 中祖先(包括自己)连出去的所有非树边的最小边。
然后就是怎么维护祖先出去的所有非树边的最小边：
显然可以从祖先转移过来，直接可并堆即可。
又因为要保留每个点的信息，所以合并的时候可持久化即可
和线段树合并的可持久化一样，然后就可以过了。
建议可以看一看课件
```cpp
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class Num> inline void Cmax(Num &x, const Num y) {
x = y > x ? y : x;
}
template <class Num> inline void Cmin(Num &x, const Num y) {
x = y < x ? y : x;
}
const int maxn(5005);
const int maxm(2e5 + 5);
const double eps(1e-8);
int n, m, first[maxn], cnt, vis[maxn], rt[maxn], tot, cov[maxm << 1], ans, fa[maxn];
double se, e, dis[maxn];
priority_queue < pair <double, int> > q;
struct Heap {
int ls, rs, dis, ed;
double w;
} tr[maxm * 20];
struct Edge {
int to, next;
double w;
} edge[maxm << 1];
inline void Add(int u, int v, double w) {
edge[cnt] = (Edge){v, first[u], w}, first[u] = cnt++;
edge[cnt] = (Edge){u, first[v], w}, first[v] = cnt++;
}
inline int NewNode(double w, int ed) {
int x = ++tot;
tr[x].w = w, tr[x].dis = 1, tr[x].ed = ed;
return x;
}
int Merge(int x, int y) {
if (!x || !y) return x + y;
if (tr[x].w - tr[y].w >= eps) swap(x, y);
int p = ++tot;
tr[p] = tr[x], tr[p].rs = Merge(tr[p].rs, y);
if (tr[tr[p].ls].dis < tr[tr[p].rs].dis) swap(tr[p].ls, tr[p].rs);
tr[p].dis = tr[tr[x].rs].dis + 1;
return p;
}
void Dfs(int u) {
vis[u] = 1;
for (int e = first[u], v; e != -1; e = edge[e].next)
if (e & 1) {
double w = edge[e].w;
if (fabs(dis[u] + w - dis[v = edge[e].to]) < eps && !vis[v])
fa[v] = u, cov[e ^ 1] = 1, Dfs(v);
}
}
int main() {
memset(first, -1, sizeof(first));
memset(dis, 127, sizeof(dis));
scanf("%d%d%lf", &n, &m, &se);
for (int i = 1, u, v; i <= m; ++i) scanf("%d%d%lf", &u, &v, &e), Add(u, v, e);
dis[n] = 0, q.push(make_pair(0, n));
while (!q.empty()) {
int u = q.top().second;
q.pop();
if (vis[u]) continue;
vis[u] = 1;
for (int e = first[u]; ~e; e = edge[e].next)
if (e & 1) {
int v = edge[e].to;
if (dis[v] - (dis[u] + edge[e].w) >= eps)
q.push(make_pair(-(dis[v] = dis[u] + edge[e].w), v));
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) vis[i] = 0;
Dfs(n);
for (int e = 0, u, v; e < cnt; e += 2)
if (!cov[e]) {
u = edge[e ^ 1].to, v = edge[e].to;
if (dis[u] == dis[0] || dis[v] == dis[0]) continue;
rt[u] = Merge(rt[u], NewNode(dis[v] + edge[e].w - dis[u], v));
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) q.push(make_pair(-dis[i], i));
for (int i = 1, u; i <= n; ++i) {
u = q.top().second, q.pop();
if (fa[u]) rt[u] = Merge(rt[u], rt[fa[u]]);
}
if (dis[1] - se < eps) se -= dis[1], ++ans;
if (rt[1]) q.push(make_pair(-tr[rt[1]].w, rt[1]));
while (!q.empty()) {
int ed = q.top().second;
double cur = q.top().first, w = dis[1] - cur;
if (w - se >= eps) break;
q.pop(), se -= w, ++ans;
for (int i = 0; i < 2; ++i) {
int nxt = i ? tr[ed].rs : tr[ed].ls;
if (nxt) q.push(make_pair(cur + tr[ed].w - tr[nxt].w, nxt));
}
if (rt[tr[ed].ed]) q.push(make_pair(cur - tr[rt[tr[ed].ed]].w, rt[tr[ed].ed]));
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
```