题解 P3159 【[CQOI2012]交换棋子】

# 广告 [蒟蒻のblog](http://www.cnblogs.com/dedicatus545/p/8781976.html) # 正文 ### 抖机灵 一开始看到这题我以为是棋盘模型-\_-|| 然而现实是骨感的 后来我尝试使用插头dp来交换，然后又惨死 最后我不得不把目光转向那个总能化腐朽为神奇的算法：网络流 ### 思维 我们要先有一个思维的转变：要把棋盘上的“交换”操作，看成所有的黑色棋（白色棋等价）在移动 我们考虑令一个黑子往下移动一个 此时当前格子和下方格子的交换数都加一 考虑一条移动的路径，那么显然，这条路径两端的格子只进行了一次交换，但是路径上的所有格子进行了两次 我们可以考虑把这个过程变成网络流来做 但是有一个问题：一个格子如果本来就有一个黑棋，最后没有黑棋，或者本来是白棋，最后是黑棋，那么这个格子的收支会不平衡，也就是说我们硬做，连无向边的时候满足了流量平衡条件但却得不到最优解 而且如果每个格子只建一个点，也并不能把格子的交换次数限制考虑进去 那我们就要考虑拆点了 ### 拆点 最基础的拆点：一个格子拆成两个，分别代表进入和走出，中间连一条容量为交换次数上限的边 但是这样有另一个问题：无法体现出路径两端的点和路径中间的点的区别（也就是如果“经过”了一个点，也只统计一点流量） 那我们再拆：把一个点拆成三个：left,now,right 从left向now连边、now向right连边，流量上限分别为限制的一半 这样就完美体现了只有流出、只有流入和流入流出都有的区别 相邻的点之间从right连向left 我们令源点向所有初始图中黑棋格子的now连边，汇点跟所有最终图中的黑棋格子的now连边，跑S-T最大流即可 ### 问题 第一个大问题：如何解决上文中流量收支可能不平衡的问题？ 答：如果该点是黑子->白子，那么这个点的出一定比入大一点流量；如果是白子->黑子，那么入一定比出大一点流量 第二个大问题：如何找最小？ 做这个比较好办，把left-now和now-right边增加费用1就好了 ### 结论&&最终实现方法 以下用<u,v,w,cap>表示u到v的有向边，费用w流量cap 建立费用流图，每个点拆成left,now,right 若该点在初始图中是黑的、最终图中是白的，那么连边(left,now,1,$\frac{limit}{2}$),(now,right,1,$\frac{limit+1}{2}$) 若该点在初始图中是白的、最终图中是黑的，那么连边(left,now,1,$\frac{limit+1}{2}$),(now,right,1,$\frac{limit}{2}$) 若该点在初始图和最终图中颜色相同，那么连边(left,now,1,$\frac{limit}{2}$),(now,right,1,$\frac{limit}{2}$) 其中limit表示这个格子的交换次数上限 建立附加源汇S-T 对于初始图中的黑点i，连边(S,now(i),0,1) 对于最终图中的黑点i，连边(now(i),T,0,1) 相邻的点i,j之间连边(right(i),left(j),0,inf) # Code ```cpp #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define inf 1e9 #define tot (n*m*3) #define left(i,j) ((i-1)*m+j) #define now(i,j) (((i-1)*m+j)+n*m) #define right(i,j) (((i-1)*m+j)+(n*m<<1)) using namespace std; inline int read(){ int re=0,flag=1;char ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<'0'){ if(ch=='-') flag=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar(); return re*flag; } const int dx[9]={0,-1,-1,-1,0,0,1,1,1},dy[9]={0,-1,0,1,-1,1,-1,0,1}; int n,cnt=-1,m,first[2010],dis[2010],vis[2010],ans=0; struct edge{ int to,next,w,cap; }a[50010]; inline void add(int u,int v,int w,int cap){ a[++cnt]=(edge){v,first[u],w,cap};first[u]=cnt; a[++cnt]=(edge){u,first[v],-w,0};first[v]=cnt; } int q[10010]; bool spfa(int s,int t){ int head=0,tail=1,i,v,u,w; memset(dis,-1,sizeof(dis));memset(vis,0,sizeof(vis)); q[0]=t;vis[t]=1;dis[t]=0; while(head<tail){ u=q[head++];vis[u]=0; for(i=first[u];~i;i=a[i].next){ v=a[i].to;w=a[i].w; if(a[i^1].cap&&((dis[v]==-1)||(dis[v]>dis[u]-w))){ dis[v]=dis[u]-w; if(!vis[v]) q[tail++]=v,vis[v]=1; } } } return ~dis[s]; } int dfs(int u,int t,int limit){ if(u==t||!limit){vis[u]=1;return limit;} int i,v,f,flow=0,w;vis[u]=1; for(i=first[u];~i;i=a[i].next){ v=a[i].to;w=a[i].w; if(!vis[v]&&a[i].cap&&dis[v]==dis[u]-w){ if(!(f=dfs(v,t,min(limit,a[i].cap)))) continue; a[i].cap-=f;a[i^1].cap+=f; flow+=f;limit-=f;ans+=w*f; if(!limit) return flow; } } return flow; } int zkw(int s,int t){ int re=0; while(spfa(s,t)){ vis[t]=1; while(vis[t]){ memset(vis,0,sizeof(vis)); re+=dfs(s,t,inf); } } return re; } int x1[30][30],x2[30][30]; int main(){ memset(first,-1,sizeof(first)); int i,j,t1=0,t2=0,ti,tj,k;char s[30]; n=read();m=read(); for(i=1;i<=n;i++){ scanf("%s",s); for(j=1;j<=m;j++){ if(s[j-1]=='1'){ t1++;add(0,now(i,j),0,1); x1[i][j]=1; } } } for(i=1;i<=n;i++){ scanf("%s",s); for(j=1;j<=m;j++){ if(s[j-1]=='1'){ t2++;add(now(i,j),tot+1,0,1); x2[i][j]=1; } } } if(t1!=t2){ puts("-1");return 0; } for(i=1;i<=n;i++){ scanf("%s",s); for(j=1;j<=m;j++){ t2=s[j-1]-'0'; if(x1[i][j]==x2[i][j]) add(left(i,j),now(i,j),0,t2/2),add(now(i,j),right(i,j),0,t2/2); if(x1[i][j]&&!x2[i][j]) add(left(i,j),now(i,j),0,t2/2),add(now(i,j),right(i,j),0,(t2+1)/2); if(!x1[i][j]&&x2[i][j]) add(left(i,j),now(i,j),0,(t2+1)/2),add(now(i,j),right(i,j),0,t2/2); } } for(i=1;i<=n;i++){ for(j=1;j<=m;j++){ for(k=1;k<=8;k++){ ti=i+dx[k];tj=j+dy[k]; if(ti<1||ti>n||tj<1||tj>m) continue; add(right(i,j),left(ti,tj),1,inf); } } } if(zkw(0,tot+1)!=t1){ puts("-1");return 0; } cout<<ans<<endl; } ```