题解 UVA10298 【Power Strings】

此题我写的是后缀数组SA解法，如果不会后缀数组的可以跳过本篇blog了。 参考文献：罗穗骞 2009集训队后缀数组论文 # 前记 最近学后缀数组，肝了不少题，也分出了后缀数组的几个题型，看这题没有后缀数组的解法，于是我决定来水一波。 注：思想正确，代码不一定正确。 ## 分析题意 给定一个字符串 L，已知这个字符串是由某个字符串 S 重复 R 次而得到的， 求 R 的最大值。 其实就是求字符串L的连续重复子串。连续重复子串就是后缀数组的一个题型。 ## 算法分析 1、我们需要最大的R，就说明我们需要连续重复子串的子串长度最小，那我们就可以首先枚举子串的长度k。 2、如何判断枚举出的子串是否符合题意，为L的连续重复子串。相信学过后缀数组的大家一定知道如何求最长公共前缀，我在这里简要提一下。 ## 最长公共前缀 ### 定义&&性质 一、 Suf(i)为字符串S的从i位开始的后缀。 例：S="LAHAKIOI" Suf(0)="LAHAKIOI".Suf(4)="AKIOI".（字符串从0开始） 二、 height[i]为Suf(SA[i])和Suf(SA[i-1])的最长公共前缀  三、 h[i]=height[rank[i]]，也就是 Suf(i)和在它前一名的后缀的最长公共前 缀。 h数组有以下性质： h[i]≥h[i-1]-1 具体证明这里不给出，如果有需要可以看我blog里的后缀数组全讲。 四、 Suf(j)和Suf(k)的最长公共前缀为（height[rank[j]+1],height[rank[j]+2],height[rank[j]+3],……,height[rank[k]]）的最小值。 具体证明依然不给出，有需要可以看我的blog。 ------------ 正所谓我们使用后缀数组求出了SA数组和Rank数组，我们想要求最长公共前缀，就要高效求出height数组。 求height数组，我们可以根据h数组的性质(三)，对于每一个后缀和他上一个的字符串，我们不需要从头开始寻找他们的最长公共前缀，这样时间复杂度高达O(n^2)，我们可以直接从h[i-1]-1处开始判断，因为根据h数组的性质，这两个字符串的前h[i-1]-1位一定是相同的。 这样时间复杂度降到O(n). 这里可能大家看的不是很懂，不过代码比较简单，比较容易懂: ```cpp void get_height(){ //求height数组 int k=0; for(int i=0;i<n;i++){ if(k)k--; //h数组可以直接用一个计数器代替 int j=sa[rank[i]-1]; if(rank[i]-1==-1)continue; //因为我的排名从0开始，所以排名是0时要特判 while(s[i+k]==s[j+k])k++; //从k处找最长公共前缀 height[rank[i]]=k; //记录height数组 } } ``` ------------ 那我们求出了最长公共前缀就可以判断长度为k的子串是否满足为连续最长子串。 ### 判断长度为k的子串是否满足为连续最长子串 1、首先，我们要判断字符串长度n是否能整除k，如果不能就显然不行。 2、再看Suf(0)到Suf(k)的最长公共前缀是否为n-k。前面根据性质四，我们可以知道Suf(0)到Suf(k)的最长公共前缀，但每一次的时间都为O(n)，整体下来时间复杂度十分高。 但我们可以看到Suf(0)是固定的，所以我们可以预处理出只需求出 height 数组中的每一个数到height[rank[0]]之间的最小值记为ans数组即可。 全部代码： ```cpp #include<string> #include<stdio.h> #include<string.h> #include<iostream> #define maxn 300001 using namespace std; char s[maxn]; int n,sa[maxn],rank[maxn],newRK[maxn],key2[maxn],sum[maxn],height[maxn],k; int level; void get_sum(int m){ for(int i=0;i<=m;i++) sum[i]=0; for(int i=0;i<n;i++) sum[rank[i]]++; for(int i=0;i<m;i++) sum[i]+=sum[i-1]; } bool cmp(int x,int y,int L){ if(rank[x]!=rank[y])return false; if((x+L>=n&&y+L<n)||(x+L<n&&y+L>=n))return false; if(x+L>=n&& y+L>=n) return true; return rank[x+L] == rank[y+L]; } void get_height(){ //求height数组 int k=0; for(int i=0;i<n;i++){ if(k)k--; //h数组可以直接用一个计数器代替 int j=sa[rank[i]-1]; if(rank[i]-1==-1)continue; //因为我的排名从0开始，所以排名是0时要特判 while(s[i+k]==s[j+k])k++; //从k处找最长公共前缀 height[rank[i]]=k; //记录height数组 } } void Suffix_Sort(){ //SA板子 for(int i=0;i<n;i++) rank[i]=s[i]; get_sum(356); for(int i=n-1;i>=0;i--) sa[--sum[rank[i]]]=i; int w=1,m=max(n,356); while(w<n){ int p=0; for(int i=n-w;i<n;i++)key2[p++]=i; //第二关键字越界排前 for(int i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=w)key2[p++]=sa[i]-w;//如果当前长度有第一关键字就记录 //以上按第二关键字排序 get_sum(m); for(int i=n-1;i>=0;i--){ int j=key2[i]; sa[--sum[rank[j]]]=j; } //以上按第一关键字排序，直接覆盖之前的sa数组，不需要再开一个key1 newRK[sa[0]]=0; level=1; for(int i=1;i<n;i++){ if(cmp(sa[i-1],sa[i],w)) newRK[sa[i]]=level-1; else newRK[sa[i]]=level++; } for(int i=0;i<n;i++) rank[i]=newRK[i]; //以上计算长度2*w的rank数组 if (level==n)break; w<<=1; } } int main(){ while(1){ int ans[maxn]; memset(sa,0,sizeof(sa)); memset(height,0,sizeof(height)); memset(ans,0,sizeof(ans)); memset(rank,0,sizeof(rank)); scanf("%s",s);n=strlen(s); if(s[0]=='.')break; Suffix_Sort();get_height(); //下面求ans数组 int a=rank[0],minx=10000000; for(int i=a;i>=1;i--){ minx=min(minx,height[i]); ans[sa[i-1]]=minx; } minx=10000000; for(int i=a+1;i<=n;i++){ minx=min(minx,height[i]); ans[sa[i]]=minx; } for(int i=1;i<=n;i++){ if(n%i==0){ if(ans[i]==n-i) { printf("%d\n",n/i); break; } } } } } ``` # 谢谢观赏