题解 P4550 【收集邮票】

#### 概率题是真的仙 ## Solution 用$f[i]$表示现在取到$i$张邮票,要取完剩下邮票的期望次数 显然$f[n]=0$ 现在已经取得$i$张邮票,所以下一次取邮票有$\frac{i}{n}$的概率取到已经有的,期望为$\frac{i}{n}*f[i]$ 有$\frac{n-i}{n}$的概率取到没有的,期望为$\frac{n-i}{n}*f[i+1]$,这次取邮票的期望为1,所以总期望为: $$f[i]=\frac{i}{n}*f[i]+\frac{n-i}{n}*f[i+1]+1$$ 化简可得:$f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}$ 用$g[i]$表示现在取到$i$张邮票,要取完剩下邮票的期望价格 显然$g[n]=0$ 现在已经取得$i$张邮票,所以下一次取邮票有$\frac{i}{n}$的概率取到已经有的,期望为$\frac{i}{n}*(g[i]+f[i]+1)$,有$\frac{n-i}{n}$的概率取到没有的,期望为$\frac{n-i}{n}*(g[i+1]+f[i+1]+1)$所以总期望为: $$g[i]=\frac{i}{n}*(g[i]+f[i]+1)+\frac{n-i}{n}*(g[i+1]+f[i+1]+1)$$ 化简可得:$g[i]=\frac{i}{n-i}*f[i]+g[i+1]+f[i+1]+\frac{n}{n-i}$ 前面的推导貌似很自然的样子,但是为啥$g[i]$的推导式看着就那么奇怪呢? 那是因为式子的结构表示的是每次都将后面取到的邮票费用+1(总费用+f[i]),再加上自己的费用(+1) 这样就很好理解了 为啥不是$f[0]*(f[0]+1)/2*n$我也想了很久 因为推导过来每次的贡献是不相同的 比如说所有情况中有1次需要取2张,1次需要取3张,那么总贡献为$(3+6)/2=4.5$,而期望次数为2.5,显然是不对的... 代码比思考简单多了 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int n; double f[10005],g[10005]; int main() { scanf("%d",&n); for(int i=n-1;~i;--i) { f[i]=f[i+1]+(1.0*n)/(1.0*(n-i)); g[i]=(1.0*i)/(1.0*(n-i))*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1; } printf("%.2lf\n",g[0]); return 0; } ```