题解 P1052 【过河】
Panda_hu
2017-08-25 10:41:11
# 题解
## step 1理解题意
在做这道题之前，一定要理解好题意，有一个需要特别注意注意的地方：
**青蛙不是一定要跳到石头上**[嗯...这一点坑了我好久]而是指青蛙尽量不踩石头的情况下还要跳到多少个石头上[语文渣求原谅]。
## step 2状态转移方程
这是一个比较简单方程式。
首先设f[i]为在i点上的最少踩石子数则在前面(i-s)到(i-t)的点都可以改变i点的值,因此我们可以取f[i-s]-f[i-t]之中的最小值，另外如果有石头就加上1，如果没有就不加值，这里我们直接用flag[i]表示该点有无石头(有则为1，无则为0)。
因此我们可以写出状态转移方程式:$f[i]=\min(f[i-j]+flag[i]|s<=j<=t)$
## step 3路径压缩
实际上，这题还没完呢...如果我们定义一个f[10^9]的数组，这肯定是会爆内存的——所以...**[我就放弃了这道题]**[额，可能吗]..因此我们需要使用一种方法，使得这里采用一种最合适的方法——路径压缩(其实还有其他更(bu)优(kao)秀(pu)方法的)，目的是要找到两石同相隔较长时直接缩短的方法。
**[前方高能,请数学学科恐惧症患者尽快撤离!!]**:
假设每次走p或者p+1步.我们知道$\gcd(p,p+1)$=1.
由扩展欧几里得可知，对于二元一次方程组：
$px+(p+1)y=\gcd(p,p+1)$是有整数解的，即可得：$px+(p+1)y=s$是一定有整数解的。
设$px+(p+1)y=s$的解为：$x=x0+(p+1)t,y=y0-pt$。令$0<=x<=p$(通过增减t个p+1来实现)，$s>p*(p+1)-1$,
则有：$y=\frac{s-px}{p+1}>=\frac{s-p^2}{p+1}>\frac{p*(p+1)-1-px}{p+1}>=0$
即表示，当 $s>=p*(p+1)$ 时，$px+(p+1)y=s$ 有两个非负整数解，每次走p步或者 $p+1$ 步，$p*(p+1)$ 之后的地方均能够到达。
如果两个石子之间的距离大于 $p*(p+1)$ ，那么就可以直接将他们之间的距离更改为 $p*(p+1)$ 。
综上，得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离> $t*(t-1)$ ，则将他们的距离更改为 $t*(t-1)$ 。
因为 $t<=10$ ，因此我们可以直接将大于10\*9的距离直接化为90.
但是要注意，对于 $s=t$ 这种特殊情况，这种方法是不成立的应为在这种情况下，每次是不能够走p+1步的，因此需要另外特殊判断。
方程如下:
$f[i]=f[i-1]+(i \mod s ==0)$
# 代码实现
```cpp
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
using namespace std;
int f[10005],far[10005],a[10005],flag[10005],p,s,t,n;
int main()
{
scanf("%d",&p);
scanf("%d%d%d",&s,&t,&n);
if(s==t) //特殊情况判断
{
int cont=0,qaq;
for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&qaq),cont+=((qaq%s)==0);
printf("%d\n",cont);return 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
sort(a+1,a+n+1);a[0]=0;f[0]=0;
far[n+1]=min(p-a[n],100);p=0; //计算终点与最后一个点的距离
for(int i=1;i<=n;i++)far[i]=min(a[i]-a[i-1],90),p+=far[i],flag[p]=1; //缩短路径，存储缩短后的终点距离并标记石头位置
p+=far[n+1];
for(int i=1;i<=p+9;i++)
{
f[i]=INT_MAX-1;
for(int j=s;j<=t;j++)if(i>=j)f[i]=min(f[i],f[i-j]+flag[i]);
}
int minn=INT_MAX-1;
for(int i=p;i<=p+9;i++) //因为青蛙可以跳出边界且t<=10因此再终点后p-p+9中取最小值
minn=min(minn,f[i]);
printf("%d",minn);
}
```
[CSDN](http://blog.csdn.net/qq\_34940287/article/details/77494073)
2020.7.2 UPD:想不到这篇博客会收到这么多的好评...这篇博客是我初学动态规划的时候写的，并且当时也还没有考NOIP2017。所以存在很多理解不够深刻之处。
本题需要我们需要求得一个最小的值$t$使得对于所有$s>t$的$px+(p+1)y=s$一定有非负整数解。根据NOIP2017提高组D1T1的结论，我们可以知道这个数为$t=p(p+1)-p-(p+1)$。
由于本题的最大步长为$10$，因此$t_{max}=9\times10-9-10=71$。因此本题我们的压缩距离最小可以达到$71$(在本文做法中不是$72$)。
先前对于同学们的误导，笔者深表歉意。