题解 P4285 【[SHOI2008]汉诺塔】
Potassium
2018-12-15 15:31:41
提供一种~~打表~~新思路
先来证明一个其他题解都没有证明的结论：$ans[i]$是可由$ans[i-1]$线性递推的。
（$ans[i]$表示$i$个盘子全部移走的步数）
感谢[keytoyzi](https://www.luogu.org/space/show?uid=75600)神仙的神仙思路
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首先，在最初**两层**移动的时候，遵循的移动顺序规则是**题中所给的顺序**。
在$n$个盘子都在$A$柱的时候，我们是怎么做的呢？
先把前$n-1$个盘子按照遵循初始顺序规则的方法移动到$B$或$C$；
再对第$n$个盘子进行操作；
再进行某些操作（后文会展开）；
最后所有盘子移动到$B$或者$C$。
#### 这等价于：
每一层对应一个**新规则**，把前$n-1$层盘子看做一层，那就相当于按照这个新的规则移动一个**两层**的东西。
这个新规则是啥意思呢？光说理论太难以理解，上图：
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解释一下：$n-1$代表前$n-1$个盘子，这些盘子根据初始规则可能移动到$B$或者$C$，而把他们看做一个整体后，相当于上图的遵循初始规则的移动方式，而这种新的移动方式，就是一个新的规则。
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再来两张状态转移的图：
（单箭头表示这一步操作优先级高于另一侧）
解释一下这张图。
刚开始对于**前$n$个盘子**形成的**新规则**：
$AB>AC$，$BC>BA$，$CA>CB$。
根据这个规则进行第$n+1$层的操作：（以$A \to C$为例）
先把$A$上的前$n$个盘子扔到$B$上；（$A(n)$）
再把$A$最底下的第$n+1$个盘子扔到$C$上；（$1$）
再把扔到$B$上的前$n$个盘子扔到$C$上。（$B(n)$）
故总步骤数为$A(n)+1+B(n)$。
同理，那么这就给出了一组递推关系。
易得，如果$n$满足左图，则$n+1$满足右图；
如果$n$满足右图，则$n+1$满足左图。
也就是说，这两张图中的状态可以互相转换。
又，$ABC$是等价的，故这张图对应了一种可能的答案（答案$1$）。
这张图更复杂一些，不过实质和刚刚的相同。
以$A\to B$为例。
先把$A$上的前$n$个盘子扔到$B$上；（$A(n)$）
再把$A$最底下的第$n+1$个盘子扔到$C$上；（$1$）
再把$A$上的这n个盘子扔回$A$上；（$B(n)$）
再把$C$上的第n+1个盘子扔到$B$上；（$1$）
再把$A$上的那$n$个盘子扔回$B$上。（$B(n)$）
故总步骤数为$A(n)+1+B(n)+1+B(n)$。
同理易得，如果n满足左图，则n+1满足右图；
如果$n$满足右图，则$n+1$满足左图。
也就是说，这两张图中的状态还是可以互相转换。
而在这张图上，$AB$是等价的，$C$是另一种情况，故这张状态图对应了两种可能的答案：
$AB$对应的状态为初始$A$柱（答案$2$）
或
$C$对应的状态为初始$A$柱（答案$3$）。
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好，那么现在对应这三种情况做一种简单的分析。
### 对于第一种答案：
$ABC$等价，故$A(n)=B(n)=C(n)=ans_1[n]$
由图中的递推公式，$ans_1[n+1]=ans_1[n]*2+1$
### 对于第二种答案：
$AB$等价，$A(n)=B(n)=ans_2[n]$
$ans_2[n+1]=ans_2[n]*3+2$
### 对于第三种答案：
$AB$等价，$A(n)=B(n)=ans_2[n]$
$ans_3[n+1]=ans_2[n]+ans_3[n]+1$
这是一个线性表达式。
#### 证毕。
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所以，我们只需要知道移动一个盘子、两个盘子、三个盘子的情况，即可知道递推公式进而求解。
手动模拟~~打表~~，容易得到以下结果：
（$ans[i]$表示i个盘子全部移走的步数）
### 一个盘子：
$ans[1]=1$
### 两个盘子：
#### $(1)AB>AC$
##### ①$BC>BA$，$ans[2]=3$
##### ②$BC<BA$，$ans[2]=5$
#### $(2)AB<AC$
这里可以看做把$BC$柱子换了个位置
##### ①$ans[2]=3$：原$BC>BA$，把$BC$换了个位置后变成$CB>CA$
##### ②$ans[2]=5$：原$BC<BA$，同理变成$CB<CA$
### 三个盘子：
#### $(1)AB>AC$
##### ①$BC>BA$
###### $(i)CB>CA$，$ans[3]=9$
###### $(ii)CB<CA$，$ans[3]=7$
#### ②$BA>BC$
##### $ans[3]=17$
#### $(2)AB<AC$
同理，不再赘述
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下附递推AC代码：
```
#include<stdio.h>
char a[4];
int seq[3][3];
long long ans[40];
int main(){
int i,n;
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<6;i++){
scanf("%s",a);
seq[a[0]-'A'][a[1]-'A']=6-i;
}
if(seq[0][1]>seq[0][2]){//AB>AC
if(seq[1][2]<seq[1][0]){//BC<BA
ans[2]=5;ans[3]=17;
}else{
if(seq[2][0]>seq[2][1]){//CA>CB
ans[2]=3;ans[3]=7;
}else{
ans[2]=3;ans[3]=9;
}
}
}else{//AB<AC
if(seq[2][1]<seq[2][0]){//CB<CA
ans[2]=5;ans[3]=17;
}else{
if(seq[1][0]>seq[1][2]){//BA>BC
ans[2]=3;ans[3]=7;
}else{
ans[2]=3;ans[3]=9;
}
}
}
ans[1]=1;
int b=(ans[2]*ans[2]-ans[1]*ans[3])/(ans[2]-ans[1]);
int k=(ans[2]-b)/cnt1;
for(i=4;i<=n;i++)ans[i]=ans[i-1]*k+b;
printf("%lld",ans[n]);
return 0;
}
```
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其实，这已经没有必要写成递推形式了。我们在讨论三种答案的时候，其实已经可以手算算出三种情况的O(1)表达式了。
来一发最短AC代码
```
#include<stdio.h>
#include<math.h>
typedef long long ll;
char a[4];
int s[9],p,n,i=6;
ll f(int x){
if(x==1)return (ll)2*pow(3,n-1)-1;
if(x)return (ll)pow(2,n)-1;
return (ll)pow(3,n-1);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
while(i--)scanf("%s",a),s[(a[0]-'A')*3+a[1]-'A']=i;
if(s[1]>s[2]){
if(s[5]<s[3])p=1;
else if(s[6]>s[7])p=2;
}else if(s[7]<s[6])p=1;
else if(s[3]>s[5])p=2;
printf("%lld",f(p));
return 0;
}
```