题解 P4323 【[JSOI2016]独特的树叶】
RabbitHu
2018-06-11 10:04:31
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这道题是一道判断无根树同构的模板题,判断同构主要的思路就是哈希。
一遇到哈希题,一百个人能有一百零一种哈希方式,这篇题解随便选用了一种——类似[杨弋《Hash在信息学竞赛中的一类应用》](https://wenku.baidu.com/view/72d3d14f852458fb770b560d.html)中的这种,可能不是最简洁好写的,但是能用。
我的哈希规则:子树$u$的哈希值由它的每一个子树$v_i$的哈希值得来,首先将所有$f(v)$排个序(防止顺序不同造成影响),然后$f(u) = size(u) * \sum_i f(v_i)W^{i - 1} \bmod P$,$W$是事先选取的一个位权,$P$是模数,$size(u)$是子树$u$的大小。
这样DFS一遍可求出以$1$号节点为根时,所有子树的哈希值$f(u)$。
但是这是无根树,我们想求出以任意节点为根时整棵树的哈希值。
设$fa_u$为以$1$为根时$u$的父亲,则上面的$f(u)$也是以$fa_u$为根时子树$u$的哈希值。
再求一个$g(u)$表示以$u$为根时子树$fa_u$的哈希值。这个$g(u)$怎么求呢?再DFS一遍,对于每个节点,$g(u)$由$g(fa_u)$以及$u$的每个兄弟$v_i$的$f(v_i)$得来。但是直接暴力枚举的话在菊花图上是$O(n^2)$的,那怎么办呢?
对于每个节点$u$维护一个数组,存储它所有儿子的哈希值$f(v)$,如果有父亲,则$g(u)$也在里面,把这个数组排好序,求出每个前缀的哈希值和每个后缀的哈希值。这时,以$u$为根时整棵树的哈希值就是整个数组的哈希值(再乘上子树大小$n$)。
此时求每个儿子$v$的$g(v)$,就是从那个数组中间去掉$f(v)$后的哈希值,二分查找后把前缀哈希值和后缀哈希值拼起来就可以得到。记得乘上$v$为根时$u$的$size$即$n - size(v)$。
这样就求出以每个节点为根的哈希值了。
把A的所有哈希值存到一个set里,然后枚举B的每个度为1的点$u$,求出以$u$为根它的唯一子树$v$的哈希值,如果set里有这个值,$u$就是所求的点之一。
代码比较丑,见谅 ><
```cpp
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
void read(T &x){
char c;
bool op = 0;
while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
if(c == '-') op = 1;
x = c - '0';
while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
x = x * 10 + c - '0';
if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar('0' + x % 10);
}
const int N = 100005, W = 1000000021, P = 999999137;
int n, m, fa[N], f[N], g[N], pw[N], Sze[N], deg[N], ans = P;
int ecnt, adj[N], nxt[2*N], go[2*N];
vector <int> son[N], sl[N], sr[N];
set <int> vis;
bool isB;
void add(int u, int v){
if(isB) deg[u]++;
go[++ecnt] = v;
nxt[ecnt] = adj[u];
adj[u] = ecnt;
}
int dfs1(int u, int pre){
Sze[u] = 1;
fa[u] = pre;
son[u].clear();
for(int e = adj[u], v; e; e = nxt[e])
if((v = go[e]) != pre){
son[u].push_back(dfs1(v, u));
Sze[u] += Sze[v];
}
if(son[u].empty()) return f[u] = 1;
sort(son[u].begin(), son[u].end());
ll ret = 0;
for(int i = 0; i < (int)son[u].size(); i++)
ret = (ret * W + son[u][i]) % P;
return f[u] = Sze[u] * ret % P;
}
void dfs2(int u){
if(fa[u]){
son[u].push_back(g[u]);
sort(son[u].begin(), son[u].end());
}
int sze = son[u].size();
sl[u].resize(sze);
sl[u][0] = son[u][0];
for(int i = 1; i < sze; i++)
sl[u][i] = ((ll)sl[u][i - 1] * W + son[u][i]) % P;
sr[u].resize(sze);
sr[u][sze - 1] = son[u][sze - 1];
for(int i = sze - 2; i >= 0; i--)
sr[u][i] = (sr[u][i + 1] + (ll)son[u][i] * pw[sze - i - 1]) % P;
for(int e = adj[u], v; e; e = nxt[e])
if((v = go[e]) != fa[u]){
if(sze == 1){
g[v] = 1;
dfs2(v);
break;
}
int p = lower_bound(son[u].begin(), son[u].end(), f[v]) - son[u].begin();
g[v] = 0;
if(p + 1 < sze) g[v] = sr[u][p + 1];
if(p - 1 >= 0) g[v] = (g[v] + (ll)sl[u][p - 1] * pw[sze - 1 - p]) % P;
g[v] = (ll)g[v] * (n - Sze[v]) % P;
if(isB && deg[v] == 1 && vis.find(g[v]) != vis.end()) ans = min(ans, v);
dfs2(v);
}
if(!isB) vis.insert((ll)sl[u][sze - 1] * n % P);
}
int main(){
pw[0] = 1;
for(int i = 1; i < N; i++)
pw[i] = (ll)pw[i - 1] * W % P;
read(n);
for(int i = 1, u, v; i < n; i++)
read(u), read(v), add(u, v), add(v, u);
dfs1(1, 0);
dfs2(1);
ecnt = 0, isB = 1, n++;
memset(adj, 0, sizeof(adj));
for(int i = 1, u, v; i < n; i++)
read(u), read(v), add(u, v), add(v, u);
dfs1(1, 0);
if(deg[1] == 1 && vis.find(f[go[adj[1]]]) != vis.end())
ans = 1;
dfs2(1);
write(ans), enter;
return 0;
}
```