生成树
Nemlit
2018-08-30 21:40:22
管理员备注：本文中第二份代码在 hack 数据中会 WA，请读者注意
[原文地址](https://www.cnblogs.com/bcoier/p/10293072.html)
### 生成树的概念：
在一个无向图中，设顶点数为$n$，取其中$n-1$条边并使所有点相连，所得到的一棵树即为生成树。
### 最小生成树：
如果还没有接触过生成树的同学，欢迎戳->[最小生成树详解](https://tbr-blog.blog.luogu.org/solution-p3366)
# 次小生成树：
次小生成树顾名思义，就是边权之和次小的一棵生成树。有严格次小生成树与非严格次小生成树之分。
~~尽管这个算法的名字叫做次小生成树，不过其实可以理解成一道数据结构~~
次小生成树可以和次短路径一起理解，有兴趣的同学可以做做模板题
非严格次小生成树的边权之和不一定要比最小生成树的小，即 $Σw$次≥$Σw$最
严格次小生成树的边权之和一定要比最小生成树的小，即$Σw$次>$Σw$最
想要求出次小生成树？
显然我们可以dfs求出所有的生成树，在排序选出严格次小的就可以了。
但是上述方法显然不能快速求出次小生成树
为了快速的求出来次小生成树，我们需要知道一个结论：次小生成树和最小生成树之间只有一条边的差异。
这一条结论为什么是正确的呢？
我们先来看看$Kruskal$是怎么求最小生成树的
$Kruskal$是按照边权排序，按照贪心的思路一条一条的加进树边，所以如果要求出次小生成树，那么我们可以放弃一条小的边不选，加入另一条边使图联通。
如果我们"放弃"了两条边，那么只"放弃"一条边的生成树的边权和显然小于"放弃"两条边的生成树的边权和。
所以求出（非）严格次小生成树的朴素算法为：先建立一棵最小生成树。再枚举删去最小生成树上的每一条路径，再在新构成的生成树中选出一棵边权之和最小生成树的即可。
时间复杂度为$O(nmlogm)$。当然这种算法还不够优秀，我们可以继续优化
非严格次小生成树我们可以这样优化：
枚举边的时候，枚举没有被并入到最小生成树的边（我们将把这条边加入到生成树中，显然现在的图形不再是一棵树，所以我们要原图中删去一条最大边，使新图仍然联通）
加入边权值为$W1$。查询树上每一条的路径，在路径选取一个边权最大值$W2$。则当前枚举的答案为$W−W2+W1$（W为最小生成树的边权之和）
枚举所有的边之后，取最小值即可。
我们可以用倍增/树剖/LCT来实现查询树上最大值的操作，故复杂度为：$O(mlogn)$
再来看看严格次小生成树
不难发现：求非严格最小生成树时，枚举一条边$W1$，之后再寻找一条生成树上的最大边$W2$
显然$W1≥W2$，因此可能由此得到的次小生成树并非严格。所以我们可以在每次查询时，需要找到严格次小的$W1$，即$W1>W2$，这样我们就可以得到严格次小生成树了。
维护仍可以用倍增或者树剖思想。
这里介绍树剖的思路：
先用线段树维护区间最小值与严格次小值，如果是叶子节点最大值就设为他本身，次大值设为0
合并的时候把两个区间的这四个值（两个最大值与两个次大值）排序，再寻找最大值与严格次小值即可。
### [严格次小生成树模板题](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4180)
### 代码如下：
```
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define il inline
#define int long long //把所有int转成longlong
#define debug printf("Now is line %d\n",__LINE__);
il int read()
{
re int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return x*f;
}//快读
#define maxm 300005
#define inf 12345678900000000
#define maxn 100005
struct Edge{int u,v,w,next;}e[maxm<<1];
struct qj{int ma,ma2;}q[maxn<<2];
struct Edge1
{
int u,v,w;
bool operator <(const Edge1 &x) const{return w<x.w;}//按照边权排序
}edge[maxm];
int n,m,vis[maxm],ans=inf,head[maxn],cnt,fa[maxn],mtree;
il void add(int u,int v,int w)
{
e[++cnt].v=v;
e[cnt].w=w;
e[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}//前向星加边
namespace smallesttree
{
il int find(int x)
{
while(x!=fa[x]) x=fa[x]=fa[fa[x]];
return x;
}//并查集找祖先
il void init()
{
for(re int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; //预处理并查集
for(re int i=0;i<m;i++) edge[i].u=read(),edge[i].v=read(),edge[i].w=read();
}
il void kruskal()
{
init();
sort(edge,edge+m);
re int T=0;
for(re int i=0;i<m;++i)
{
re int eu=find(edge[i].u),ev=find(edge[i].v);//寻找祖先
if(eu!=ev)
{
add(edge[i].u,edge[i].v,edge[i].w),add(edge[i].v,edge[i].u,edge[i].w);
mtree+=edge[i].w;//记录子树大小
fa[ev]=eu;//合并
vis[i]=1;//标记该边为树边
if(++T==n-1) break;//边数等于节点数+1即为一颗树
}
}
}
}
//求出最小生成树
namespace treecut
{
int dep[maxn],father[maxn],top[maxn],W[maxn],a[maxn],size[maxn],son[maxn],seg[maxn],col;
//dep:深度 father:父亲节点 top:重链的顶端 W:到根节点的距离 a:点的权值 size:子树大小 son:重儿子 seg:在线段树中的序号（dfs序）
il void dfs1(int u,int fr)
{
dep[u]=dep[fr]+1;
size[u]=1;
father[u]=fr;
for(re int i=head[u];i;i=e[i].next)
{
re int v=e[i].v;
if(v!=fr)
{
W[v]=W[u]+e[i].w;//W为每一个点到根节点的距离
dfs1(v,u);
size[u]+=size[v];
if(size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;
}
}
}//预处理出dep、size、father以及son
il void dfs2(int now,int fi)
{
top[now]=fi;
seg[now]=++col;
a[col]=W[now]-W[father[now]];//a为点的权值（它与之父亲节点边的权值）（相当于前缀和）
if(!son[now]) return;
dfs2(son[now],fi);
for(re int i=head[now];i;i=e[i].next)
{
re int v=e[i].v;
if(v!=son[now]&&v!=father[now]) dfs2(v,v);
}
}//预处理出每个节点的top、seg以及权值
//树剖模板就不解释了
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
il bool CMP(int a,int b){return a>b;}
il int getse(int x,int g,int z,int c)
{
re int a[5]={x,g,z,c};
sort(a,a+4,CMP);
for(re int i=1;i<3;++i)
{
if(a[i]!=a[0]) return a[i];
}
}//找到两个区间的最大值和严格次大值（四个数）的最大值与严格次大值
// 就是合并两个区间的最大值和严格次大值
il void build(int k,int l,int r)
{
if(l==r)
{
q[k].ma=a[l];
return;
}
re int mid=(l+r)>>1;
build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
q[k].ma=max(q[ls].ma,q[rs].ma);
q[k].ma2=getse(q[ls].ma,q[rs].ma,q[ls].ma2,q[rs].ma2);
}//预处理出区间最大值与次大值
il qj query(int k,int l,int r,int ll,int rr)
{
if(ll>r||rr<l) return (qj){-inf,-inf};
if(ll<=l&&rr>=r) return (qj){q[k].ma,q[k].ma2};
re int mid=(l+r)>>1;
re qj t1=query(ls,l,mid,ll,rr),t2=query(rs,mid+1,r,ll,rr);
return (qj){max(t1.ma,t2.ma),getse(t1.ma,t2.ma,t1.ma2,t2.ma2)};
}//查询区间的区间的最大值与次小值
il int LCA(int u,int v,int d)
{
re int need=-inf;
while(top[u]!=top[v])
{
if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
qj temp=query(1,1,n,seg[top[u]],seg[u]);
u=father[top[u]];
need=max(need,(temp.ma==d)?temp.ma2:temp.ma);//严格次小边（如果temp.ma==k就是非严格次小）
}
if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);//找到LCA
qj temp=query(1,1,n,seg[v]+1,seg[u]);
return max(need,(temp.ma==d)?temp.ma2:temp.ma);//同上
}
il void init()
{
dfs1(1,0),dfs2(1,1),build(1,1,n);
}
}
//树链剖分
signed main()
{
n=read(),m=read();
smallesttree::kruskal();//求出最小生成树
treecut::init();//预处理
for(re int i=0;i<m;++i)
{
if(vis[i]) continue;//枚举所有非树边（没有在最小生成树的边）
re int temp=mtree/*最小生成树边权和*/+edge[i].w/*本来的树边的边权*/-treecut::LCA(edge[i].u,edge[i].v,edge[i].w)/*找到严格次小边的边权*/;
if(ans>temp&&temp!=mtree+e[i].w/*其实就是严格此小边不为0（没有找到严格次小边）*/&&temp>mtree) ans=temp;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
```
## $updata$ $in$ $2019$-$04$-$02$
学习了LCT后，发现这道题貌似可以LCT做，而且代码短了很多？
先跑一边$Kruskal$，并在LCT上跑出最小生成树的样子
然后对于每一条非树边，加入后会产生一个环，我们删去环内最大值（若最大值和改变相同则插入次大值）即可
```
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define debug printf("Now is Line : %d\n",__LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);//freopen(#a".out","w",stdout)
#define inf 1234567890000000000
#define ll long long
il int read() {
re int x = 0, f = 1; re char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
return x * f;
}
#define rep(i, s, t) for(re int i = s; i <= t; ++ i)
#define get_fa(x) ch[1][fa[x]] == x
#define isroot(x) ch[1][fa[x]] == x || ch[0][fa[x]] == x
#define updown(x) tag[x] ^= 1, swap(ch[0][x], ch[1][x])
#define maxn 600005
struct edge {
int u, v, w;
}e[maxn];
int n, m, is[maxn],ch[2][maxn], fa[maxn], tag[maxn], st[maxn], Fa[maxn];
int mx1[maxn], mx2[maxn], val[maxn];
ll ans, Ans = inf;
il int find(int x) {
while(Fa[x] != x) x = Fa[x] = Fa[Fa[x]];
return x;
}
il bool cmp(edge a, edge b) {return a.w < b.w;}
il void pushdown(int x) {
if(!tag[x]) return;
if(ch[0][x]) updown(ch[0][x]);
if(ch[1][x]) updown(ch[1][x]);
tag[x] = 0;
}
il void pushup(int x) {
mx1[x] = val[x];
if(mx1[x] < mx1[ch[0][x]]) mx2[x] = mx1[x], mx1[x] = mx1[ch[0][x]];
else if(mx1[x] > mx1[ch[0][x]]) mx2[x] = max(mx2[x], mx1[ch[0][x]]);
if(mx1[x] < mx1[ch[1][x]]) mx2[x] = mx1[x], mx1[x] = mx1[ch[1][x]];
else if(mx1[x] > mx1[ch[1][x]]) mx2[x] = max(mx2[x], mx1[ch[1][x]]);
mx2[x] = max(max(mx2[x], mx2[ch[1][x]]), mx2[ch[0][x]]);
}
il void rotate(int x) {
int y = fa[x], z = fa[y], w = get_fa(x), k = get_fa(y);
if(isroot(y)) ch[k][z] = x; fa[x] = z;
ch[w][y] = ch[w ^ 1][x], fa[ch[w ^ 1][x]] = y;
ch[w ^ 1][x] = y, fa[y] = x;
pushup(y), pushup(x);
}
il void Splay(int x) {
int top = 0, y = x;
st[++ top] = y;
while(isroot(y)) st[++ top] = y = fa[y];
while(top) pushdown(st[top --]);
while(isroot(x)) {
if(isroot(fa[x])) rotate(get_fa(x) == get_fa(fa[x]) ? fa[x] : x);
rotate(x);
}
}
il void access(int x) {for(re int y = 0; x; x = fa[y = x]) Splay(x), ch[1][x] = y, pushup(x);}
il void makeroot(int x) {access(x), Splay(x), updown(x);}
il int findroot(int x) {
access(x), Splay(x);
while(ch[0][x]) x = ch[0][x];
return Splay(x), x;
}
il void spilt(int x, int y) {makeroot(x), access(y), Splay(y);}
il void link(int x, int y) {
makeroot(x);
if(findroot(y) != x) fa[x] = y;
}
int main() {
n = read(), m = read();
rep(i, 1, m) e[i].u = read(), e[i].v = read(), e[i].w = read();
rep(i, 1, n) Fa[i] = i;
sort(e + 1, e + 1 + m, cmp);
rep(i, 1, m) {
val[i + n] = e[i].w;
int u = e[i].u, v = e[i].v, a = find(u), b = find(v);
if(a != b) ans += e[i].w, link(u, i + n), link(i + n, v), is[i] = 1, Fa[a] = b;
}
rep(i, 1, m) {
if(is[i]) continue;
int u = e[i].u, v = e[i].v;
spilt(u, v);
if(e[i].w > mx1[v]) Ans = min(Ans, (ll)e[i].w - mx1[v]);
else Ans = min(Ans, (ll)e[i].w - mx2[v]);
}
printf("%lld", Ans + ans);
return 0;
}
```