题解 CF468C 【Hack it!】

构造题果然都非常神仙啊 ~~首先翻译有点问题，$L, R$的范围应该为$[1, 10^{200}]$~~ 由于模数a达到了$10^{18}$，所以我们可以发现，当$i<10^{18}$时，$f()$有一个性质： $$ f(i+10^{18}) = f(i)+1$$ 我们令$g=\sum_{i=1}^{10^{18}}f(i)\ (mod\ a)$ 于是我们有：$g+1=\sum_{i=2}^{10^{18}+1}f(i)\ (mod\ a)$ $g+a-g=\sum_{i=a-g+1}^{10^{18}+a-g}f(i)\ (mod\ a)=0\ (mod\ a)$ 所以我们可以构造出一组解为$[a-g, 10^{18}+a-g+1]$ 于是我们现在问题就变成了求出$g$ $g=\sum_{i=1}^{10^{18}-1}f(i)+1$ 对于$10^{18}-1$的所有数位出现次数都是一样长的 所以答案应该为$45*$每一个数位出现多少次 这个东西就可以用~~数位DP~~组合数来求了：我们把原问题想象成：有18个空位，你可以放$[0, 9]$中的所有数，问$i$放了多少次 $$ans=\sum_{i=1}^{18}C_{18}^i*9^{18-i}$$ 然后用$__int128$跑一下，答案为$45*18*10^{17}+1=81*10^{18}+1$ ## $Code:$ ``` #include<bits/stdc++.h> using namespace std; long long a, pax = 1e18 + 1; signed main() { cin >> a; long long l = a - pax % a * 9 % a * 9 % a, r = pax + l - 1; printf("%lld %lld", l, r); return 0; } ```