P1250 种树 解题报告 差分约束

wjyyy

2018-04-14 16:11:08

Solution

给出一些约束条件,如何求出任意两个$x$值之间的大小关系? $\left\{\begin{matrix}x_1-x_2 \geq 5\\ x_2-x_3 \geq 7\\ x_3-x_4 \geq 3\end{matrix}\right.$ 可以看出 $x_1-x_2 \geq 5$和$x_2-x_3\geq7$可以相加而求得$x_1-x_3\geq12$ 由不等式联立的条件,在大于号中我们知道约束程度最大的就是约束条件最大的。 根据这个我们就可以把数学问题转化为图论中的最长路,例题见[**P1250 种树**](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1250) 这个题我们拥有的条件是,输入$B,E,T$,在前缀和数组$a$中,$a_E-a_{B-1}\geq T$ 那么这样就相当于给$B-1$和$E$连了一条权值为$T$的边,在这样的情况下找出最长路。 同时,两个点之间(相当于左边的一个点)只能种0~1棵树; 所以$0\leq a_i-a_{i-1}\leq1$ 移项变为 $ a_i-a_{i-1}\geq0$和$a_{i-1}-a_i\geq -1$ 所以会有两条边分别是$(i,i-1,0),(i-1,i,-1)$这样就可以求最长路了。 但是在最长路中要注意一点,如果初始化为0的话0+0是不能更新0的,这个题有两个解决方案。 一是从各个点都做一次SPFA(本题不能用dijkstra,有-1),这样避免了各个点之间的dis=0不能更新dis=0从而不能进队的情况,这种做法是63分; 另一个就是设置一个虚拟源点$(n+1)$,它到任意一点的距离都是固定的$inf$,这样就可以用$0$的权值去更新那些有$0$的点了。只做了一次SPFA,时间复杂度就降低了。 下面贴代码 ```cpp #include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #include<iostream> using namespace std; int n,m; struct node { int n,v; node *next; node (int n,int v) { this->n=n; this->v=v; next=NULL; } node(){next=NULL;} }; node head[30002],*tail[30002]; deque<int> q; bool used[30002]; int dis[30002]; void spfa(int s) { memset(used,0,sizeof(used)); memset(dis,0,sizeof(dis)); q.push_back(s); used[s]=1; int k; while(!q.empty()) { k=q.front(); q.pop_front(); used[k]=0; node *p=&head[k]; while(p->next!=NULL) { p=p->next; if(dis[k]+p->v>dis[p->n]) { dis[p->n]=dis[k]+p->v; if(!used[p->n]) { used[p->n]=1; if(q.empty()||dis[p->n]<dis[q.front()]) q.push_front(p->n); else q.push_back(p->n); } } } } } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); int s=n,t=1,a,b,c; tail[0]=&head[0]; for(int i=1;i<=n+1;i++) { tail[i]=&head[i]; if(i==n+1) break; tail[i]->next=new node(i-1,-1); tail[i-1]->next=new node(i,0); tail[i]=tail[i]->next; tail[i-1]=tail[i-1]->next; } for(int i=0;i<=n;i++) { tail[n+1]->next=new node(i,123456789); tail[n+1]=tail[n+1]->next; } for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); if(a-1<s) s=a-1; if(b>t) t=b; tail[a-1]->next=new node(b,c); tail[a-1]=tail[a-1]->next; } spfa(n+1); printf("%d\n",dis[n]-123456789); return 0; } ```