P1250 种树 解题报告 差分约束
wjyyy
2018-04-14 16:11:08
给出一些约束条件,如何求出任意两个$x$值之间的大小关系?
$\left\{\begin{matrix}x_1-x_2 \geq 5\\ x_2-x_3 \geq 7\\ x_3-x_4 \geq 3\end{matrix}\right.$
可以看出
$x_1-x_2 \geq 5$和$x_2-x_3\geq7$可以相加而求得$x_1-x_3\geq12$
由不等式联立的条件,在大于号中我们知道约束程度最大的就是约束条件最大的。
根据这个我们就可以把数学问题转化为图论中的最长路,例题见[**P1250 种树**](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1250)
这个题我们拥有的条件是,输入$B,E,T$,在前缀和数组$a$中,$a_E-a_{B-1}\geq T$
那么这样就相当于给$B-1$和$E$连了一条权值为$T$的边,在这样的情况下找出最长路。
同时,两个点之间(相当于左边的一个点)只能种0~1棵树;
所以$0\leq a_i-a_{i-1}\leq1$
移项变为
$ a_i-a_{i-1}\geq0$和$a_{i-1}-a_i\geq -1$
所以会有两条边分别是$(i,i-1,0),(i-1,i,-1)$这样就可以求最长路了。
但是在最长路中要注意一点,如果初始化为0的话0+0是不能更新0的,这个题有两个解决方案。
一是从各个点都做一次SPFA(本题不能用dijkstra,有-1),这样避免了各个点之间的dis=0不能更新dis=0从而不能进队的情况,这种做法是63分;
另一个就是设置一个虚拟源点$(n+1)$,它到任意一点的距离都是固定的$inf$,这样就可以用$0$的权值去更新那些有$0$的点了。只做了一次SPFA,时间复杂度就降低了。
下面贴代码
```cpp
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
struct node
{
int n,v;
node *next;
node (int n,int v)
{
this->n=n;
this->v=v;
next=NULL;
}
node(){next=NULL;}
};
node head[30002],*tail[30002];
deque<int> q;
bool used[30002];
int dis[30002];
void spfa(int s)
{
memset(used,0,sizeof(used));
memset(dis,0,sizeof(dis));
q.push_back(s);
used[s]=1;
int k;
while(!q.empty())
{
k=q.front();
q.pop_front();
used[k]=0;
node *p=&head[k];
while(p->next!=NULL)
{
p=p->next;
if(dis[k]+p->v>dis[p->n])
{
dis[p->n]=dis[k]+p->v;
if(!used[p->n])
{
used[p->n]=1;
if(q.empty()||dis[p->n]<dis[q.front()])
q.push_front(p->n);
else
q.push_back(p->n);
}
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int s=n,t=1,a,b,c;
tail[0]=&head[0];
for(int i=1;i<=n+1;i++)
{
tail[i]=&head[i];
if(i==n+1)
break;
tail[i]->next=new node(i-1,-1);
tail[i-1]->next=new node(i,0);
tail[i]=tail[i]->next;
tail[i-1]=tail[i-1]->next;
}
for(int i=0;i<=n;i++)
{
tail[n+1]->next=new node(i,123456789);
tail[n+1]=tail[n+1]->next;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if(a-1<s)
s=a-1;
if(b>t)
t=b;
tail[a-1]->next=new node(b,c);
tail[a-1]=tail[a-1]->next;
}
spfa(n+1);
printf("%d\n",dis[n]-123456789);
return 0;
}
```