题解 P4108 【[HEOI2015]公约数数列】

2019-03-04 21:00:54


感觉需要推导的东西还是比较多的。但是以后要记着看到奇怪的(?)数据范围时要想到分块。

这个题有一定的特点,就是两个表达式都是前缀形式。对于 $\gcd$ 而言,它一定是递减的,而且不同的数值最多只有 $O(\log a_i)$ 个,因为每次至少会变为原来的 $\frac 12$ 。因此产生变化的位置是可以考虑枚举的。

注意到询问是 $10000$ 的,不是很大。我们对原区间进行 $O(\sqrt n)$ 分块。

因为要找的是最小的,所以应该从前往后枚举。对于 $\gcd$ 整块不变的那些块,我们只需要找到其中是否存在异或前缀和恰好为 $x/\gcd$ 的。这一询问可以用 std::map 来解决。

当涉及单点修改时,我们只需要对当前块中的 map 进行修改就可以了。

实际上 map 中存的是当前块中的异或前缀和,由于我们每次查询都是从前往后查,可以积累一定的信息。因此不必也不能维护全局前缀和,不然修改时影响的范围太大。

不过分块的细节挺多的,包括边界一类的。还要注意复杂度,不能把 gcd() 函数当 $O(1)$ 的操作用啊啊啊啊啊啊…= =

时间复杂度 $O(n\log a_i+q\sqrt n\log a_i)$ 。

Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#define inf 2147438647
using std::map;
int gcd(int x,int y)
{
    while(y)
    {
        int t=y;
        y=x%y;
        x=t;
    }
    return x;
}
map<int,int> f[400];
int a[400][400],g[400][400];
int G[400],sum[400];
int main()
{
    int n,m,u;
    scanf("%d",&n);
    int b=sqrt(n),tmp=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int x=(i-1)/b,y=(i-1)%b+1;
        scanf("%d",&a[x][y]);
        tmp^=a[x][y];
        g[x][y]=gcd(a[x][y],g[x][y-1]);
        G[x]=g[x][y];
        if(f[x].find(tmp)==f[x].end())
            f[x][tmp]=y;
        if(x!=i/b)
        {
            sum[x]=tmp;
            g[x+1][0]=G[x];
            tmp=0;
        }
    }
    scanf("%d",&m);
    char op[100];
    int tot=ceil((double)n/b)-1;
    while(m--)
    {
        scanf("%s",op);
        if(op[0]=='M')
        {
            scanf("%d",&u);
            ++u;
            int x=(u-1)/b,y=(u-1)%b+1;
            scanf("%d",&a[x][y]);
            f[x].clear();
            tmp=0;
            g[x][0]=x?G[x-1]:0;
            for(int j=1;j<=b;++j)
            {
                tmp^=a[x][j];
                if(f[x].find(tmp)==f[x].end())
                    f[x][tmp]=j;
                g[x][j]=gcd(a[x][j],g[x][j-1]);
                G[x]=g[x][j];
            }
            sum[x]=tmp;
        }
        else
        {
            long long k;
            scanf("%lld",&k);
            int flag=0;
            tmp=0;
            int gtmp=a[0][1];
            for(int i=0;i<=tot;++i)
            {
                if(!i||G[i]!=G[i-1])//暴力
                {
                    for(int j=1;j<=b;++j)
                    {
                        tmp^=a[i][j];
                        gtmp=g[i][j];
                        if((long long)tmp*gtmp==k)
                        {
                            flag=1;
                            printf("%d\n",i*b+j-1);
                            break;
                        }
                    }
                    if(flag)
                        break;
                }
                else
                {
                    gtmp=G[i];
                    if(k%gtmp==0&&k/gtmp<inf&&f[i].find(k/gtmp^tmp)!=f[i].end())
                    {
                        printf("%d\n",i*b+f[i][k/gtmp^tmp]-1);
                        flag=1;
                        break;
                    }
                    tmp^=sum[i];
                }
            }
            if(flag)
                continue;
            puts("no");
        }
    }
    return 0;
}