题解 P4629 【[SHOI2015]聚变反应炉】

2019-03-04 21:03:04


前言

WC考了个树上游戏三合一,虽然这题是个“二合一”,但也不是非常简单。

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题解:

前面50分是个贪心。只需要先激发所有的 $1$ 再激发所有的 $0$ 即可。

此时考虑 $1$ 之间会不会互相影响。因为相邻的 $1$ 所造成的影响只是先后顺序上的,早晚都会减掉的,只是位置不同而已。

后面50分需要高阶树形dp,实则是个背包。用 $f[i][j]$ 表示 $i$ 号点在已接受儿子们贡献的 $j$ 点能量后的最小花费,要把 $j$ 当成背包那一维。

并且有可能出现 $j>d_i$ 的情况,但是这是不合法的。因此我们也需要控制,当接收的能量超过 $d_i$ 时要按 $d_i$ 算。

此外,对于每个儿子做背包的时候,如果不接受它贡献的能量,则可以自己贡献能量给它。所以dp转移方程并不像以前的背包那样,而是要计算能量下传可能带来的更小代价。

因此我们做到一个儿子 $v$ 的时候,先求出给它下传能量后的最小代价 $m=\min\{f[v][j]-\min(c_i,d_v-j)\}$ ,然后dp的时候再利用这个值就可以了。

因此转移方程为(正在转移儿子 $v$ ) $$f[i][j]=\left\{\begin{matrix}f[i][0]+m&j=0,\\\min(f[i][j-c_v]-c_v+F[v],f[i][j]+m)&k\le j\le d_i\\\min_{0\le k\le c_v}\{f[i][d_i-k]-k+F[v]\}&j=d_i\end{matrix}\right.$$

其中 $F[v]=\min_{0}^{d[v]}\{f[v][i]\}$ 。

加 $F[v]$ 的是从儿子获取能量,涉及 $m$ 的是自己下传能量。

不过从儿子获取的能量最多为 $nc_i$ ,为10000,因此数组只用开 10000 即可,注意边界问题。

Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
int Min(int x,int y){return x<y?x:y;}
struct edge
{
    int n,nxt;
    edge(int n,int nxt)
    {
        this->n=n;
        this->nxt=nxt;
    }
    edge(){}
}e[200100];
int head[100100],ecnt=-1;
void add(int from,int to)
{
    e[++ecnt]=edge(to,head[from]);
    head[from]=ecnt;
    e[++ecnt]=edge(from,head[to]);
    head[to]=ecnt;
}
int d[100100],c[100100];
int F[2010];
void dfs(int x,int from)
{
    int f[10010];
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[x][0]=d[x];
    for(int i=head[x];~i;i=e[i].nxt)
        if(e[i].n!=from)
        {
            dfs(e[i].n,x);
            int k=c[e[i].n],tmp=0x3fffffff,t=F[e[i].n];

            for(int j=0;j<=10000;++j)
            {
                f[x][j]+=t;
                tmp=Min(tmp,f[e[i].n][j]-Min(c[x],d[e[i].n]-j));
            }

            //对于每个物品 拿或不拿都有不同的贡献 需要注意

            if(d[x]<=10000)
            {
                f[x][d[x]]-=t-tmp;
                for(int j=d[x];j>=d[x]-k;--j)
                    f[x][d[x]]=Min(f[x][d[x]],f[x][j]-(d[x]-j));
            }

            for(int j=Min(d[x]-1,10000);j>=k;--j)
                f[x][j]=Min(f[x][j]-t+tmp,f[x][j-k]-k);

            if(k)
            {
                f[x][0]-=F[e[i].n];//撤销统一修改
                f[x][0]+=tmp;
            }

        }
    for(int i=0;i<=10000;++i)
        if(f[x][i]<F[x])
            F[x]=f[x][i];
}
int main()
{
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    memset(F,0x3f,sizeof(F));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int n,u,v;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&c[i]);
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);
    }
    if(n>2000)//数据分治
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
            if(c[i])
                for(int j=head[i];~j;j=e[j].nxt)
                    if(e[j].n>i||!c[e[j].n])
                        --d[e[j].n];
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            sum+=d[i]<0?0:d[i];
        printf("%d\n",sum);
        return 0;
    }
    dfs(1,1);
    printf("%d\n",F[1]);
    return 0;
}