[Code+#3] 博弈论与概率统计

Alice 和 Bob 在玩一个双人游戏。每一轮中，Alice 有 $p$ 的概率胜利，$1-p$ 的概率失败，不会出现平局。 双方初始时各有 $0$ 分，当一个人胜利的时候，他会获得一分，失败则扣掉一分。遗憾的是，博弈论世界的人目前是无法理解负数的，因此，如果某个人输掉一轮比赛的时候他只有 $0$ 分，那么他就不会被扣分（对方会照常加一分）。游戏一共要进行 $N+M$ 轮，Alice 想请你帮她算算在游戏结束时她的得分的数学期望。 “这算啥，我小 L 分分钟搞定！”。比小 L 更熟练的你当然也是随手就算出来了，但就在你打算告诉 Alice 答案之前，博弈论世界之神——temporaryDO 出现了，他给大家带来了一个重要信息：这 $N+M$ 轮游戏中， Alice 恰好赢了 $N$ 轮！ 熟知条件概率那套理论的你**立刻**注意到，你需要修改自己的计算方法来得到正确的答案了。 为了避免精度问题，请将结果对 $10^9+7$ 取模。即，我们的数据保证答案是一个有理数 $\frac{p}{q}$，且有 $10^9+7\nmid q$，你只需要找到一个整数 $x\in [0, 10^9+7)$ 使得 $qx\equiv p\pmod{10^9+7}$ 即可。

输入的第一行包含两个正整数 $T$, $P'$，其中 $T$ 表示数据组数，$\frac{P'}{1000}$ 表示 $p$ ，即 Alice 在每轮游戏中的获胜概率。 接下来 $T$ 行，每行两个非负整数 $N,M$，表示一组数据。

输出 $T$ 行，每行一个整数，表示对应数据的答案。

3 500
1 1
2 3
4 4

500000004
200000002
728571435

每一轮游戏 Alice 均有 $\frac{1}{2}$ 的概率胜利。 * 对于第一组数据，Alice 的胜利可能在第一轮或第二轮，并且概率相等。若她在第一轮胜利，则最终得分为 $0$，否则她的得分为 $1$。故期望为 $\frac{1}{2}$，验证发现 $2\times 500000004\equiv 1\pmod{10^9+7}$。 * 对于第二组数据，所求期望为 $\frac{3}{5}$。 * 对于第三组数据，所求期望为 $\frac{93}{70}$。 【数据范围与约定】 1. 对于 10% 的数据，$N,M,T\le 50$ 。 2. 对于另外 20% 的数据，$N,M,T\le 2000$ 。 3. 对于另外 20% 的数据，$N,M\le 10^5$，$|N-M|\le 200$，$T\le 2\times 10^5$ 。 4. 对于另外 20% 的数据，$N,M,T\le 5\times 10^4$ 。 5. 对于 100% 的数据，$N+M,T\le 2.5\times 10^5$， $0 < P' < 1000$ 。 Credit：https://www.luogu.org/discuss/show?postid=35727