P3305 [SDOI2013]费用流

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  • 题目提供者洛谷OnlineJudge
  • 标签 最大流 网络流 费用流 2013 山东 Special Judge
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题解

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    题目描述

    Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。 最大流问题:给定一张有向图表示运输网络,一个源点S和一个汇点T,每条边都有最大流量。

    一个合法的网络流方案必须满足:

    (1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负;

    (2)除了源点S和汇点T之外,对于其余所有点,都满足该点总流入流量等于该点总流出流量;而S点的净流出流量等于T点的净流入流量,这个值也即该网络流方案的总运输量。

    最大流问题就是对于给定的运输网络,求总运输量最大的网络流方案。 上图表示了一个最大流问题。对于每条边,右边的数代表该边的最大流量,左边的数代表在最优解中,该边的实际流量。需要注意到,一个最大流问题的解可能不是唯一的。

    对于一张给定的运输网络,Alice先确定一个最大流,如果有多种解,Alice可以任选一种;之后Bob在每条边上分配单位花费(单位花费必须是非负实数),要求所有边的单位花费之和等于P。

    总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到,Bob在分配单位花费之前,已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小,而Bob希望总费用尽量大。我们想知道,如果两个人都执行最优策略,最大流的值和总费用分别为多少。

    输入输出格式

    输入格式:

    第一行三个整数N,M,P。N表示给定运输网络中节点的数量,M表示有向边的数量,P的含义见问题描述部分。为了简化问题,我们假设源点S是点1,汇点T是点N。 接下来M行,每行三个整数A,B,C,表示有一条从点A到点B的有向边,其最大流量是C。

    输出格式:

    第一行一个整数,表示最大流的值。第二行一个实数,表示总费用。建议选手输出四位以上小数。

    输入输出样例

    输入样例#1: 复制
    3 2 1
    1 2 10
    2 3 15
    输出样例#1: 复制
    10
    10.0000

    说明

    【样例说明】

    对于Alice,最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。

    对于Bob,给第一条边分配0.5的费用,第二条边分配0.5的费用。总费用

    为:10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。

    【数据规模和约定】

    对于20%的测试数据:所有有向边的最大流量都是1。

    对于100%的测试数据:N < = 100,M < = 1000。

    对于l00%的测试数据:所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流

    量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。

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