[ABC074D] Restoring Road Network

#### 题面翻译 曾经存在的高桥王国有N个城市，城市与城市之间用长度为整数的无向道路连接。 现有一考古学家找到了一张N×N的表A，这张表代表了这N座城市两两之间的最短路。即表中的第u行第v列的值代表了从城市u到v的最短路长度。 问能否根据这张表，求出高桥王国的最小道路长度总和。 #### 输入格式 第一行：N 下面是大小为N×N的表A #### 输出格式 一个整数，表示最小道路长度总和。如果无解，输出−1 #### 数据范围与约定 - 1 <= N <= 300 - 当 i != j 时，1 <= 表A中第i行第j列的值 == 表A中第j行第i列的值 <= 10^9 - 表A中第i行第i列的值为0 #### 样例1解释 - 从城市1到城市2有长度为1的直接道路 - 从城市2到城市3有长度为2的直接道路 - 从城市1到城市3无直接道路 #### 样例2解释 从城市1走到城市2要走长度为1的道路，从城市2走到城市3要走长度为1的道路，所以从城市1到城市3要走的距离为2，但表中是3，所以无解。

[problemUrl]: https://atcoder.jp/contests/abc074/tasks/arc083_b かつて存在した高橋王国には $ N $ 個の都市があり、いくつかの都市の組は道路で双方向に結ばれていました。 道路の構造は以下のようであったことがわかっています。 - 都市間の移動は道路を通ってのみ行われ、どの都市からどの都市へも必要なら他の都市を経由することで移動できるようになっていた。 - 道路の長さは道路によって異なっていたかもしれないが、全て正整数であった。 考古学者のすぬけ君は、高橋王国の遺跡で整数からなる $ N\ \times\ N $ の表 $ A $ を発見しました。 すぬけ君は、この表は高橋王国における都市間の道路に沿った最短距離を表した表ではないかと考えました。 すべての $ u,\ v $ について、$ A $ の $ u $ 行目 $ v $ 列目の整数 $ A_{u,\ v} $ が都市 $ u $ から都市 $ v $ への最短経路の長さとなるような 道路の構造が存在するかどうか判定してください。 さらに、存在する場合、そのような道路の構造のうち、存在する道路の長さの和が最小となるようなものについて、その和を求めてください。

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。 > $ N $ $ A_{1,\ 1} $ $ A_{1,\ 2} $ $ ... $ $ A_{1,\ N} $ $ A_{2,\ 1} $ $ A_{2,\ 2} $ $ ... $ $ A_{2,\ N} $ $ ... $ $ A_{N,\ 1} $ $ A_{N,\ 2} $ $ ... $ $ A_{N,\ N} $

条件を満たす道路の構造が存在しない場合、`-1` と出力せよ。 存在する場合、道路の長さの和の最小値を出力せよ。

3
0 1 3
1 0 2
3 2 0

3

3
0 1 3
1 0 1
3 1 0

-1

5
0 21 18 11 28
21 0 13 10 26
18 13 0 23 13
11 10 23 0 17
28 26 13 17 0

82

3
0 1000000000 1000000000
1000000000 0 1000000000
1000000000 1000000000 0

3000000000

### 制約 - $ 1≦N≦300 $ - $ i\ ≠\ j $ のとき、$ 1\ ≦\ A_{i,\ j}\ =\ A_{j,\ i}\ ≦\ 10^9 $ - $ A_{i,\ i}\ =\ 0 $ ### Sample Explanation 1 条件を満たす道路の構造は以下のとおりです。 - 都市 $ 1 $ と都市 $ 2 $ の間は長さ $ 1 $ の道路によって結ばれている。 - 都市 $ 2 $ と都市 $ 3 $ の間は長さ $ 2 $ の道路によって結ばれている。 - 都市 $ 3 $ と都市 $ 1 $ の間は道路で結ばれていない。 ### Sample Explanation 2 都市 $ 1 $ から都市 $ 2 $ へ、および都市 $ 2 $ から都市 $ 3 $ へそれぞれ距離 $ 1 $ で移動できることから、 都市 $ 1 $ から都市 $ 3 $ へは都市 $ 2 $ を経由することで距離 $ 2 $ で移動できることがわかります。 一方、都市 $ 1 $ と都市 $ 3 $ の間の最短距離は $ 3 $ でなければなりません。 よって条件を満たす道路の構造は存在しないことがわかります。