P1066 2^k进制数

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  • 题目提供者 CCF_NOI
  • 评测方式 云端评测
  • 标签 数论,数学 进制 高精 NOIp提高组 2006
  • 难度 提高+/省选-
  • 时空限制 1000ms / 128MB

题解

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    题目描述

    设 $r$ 是个 $2^k$ 进制数,并满足以下条件:

    (1)r至少是个 $2$ 位的 $2^k$ 进制数。

    (2)作为 $2^k$ 进制数,除最后一位外, $r$ 的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

    (3)将 $r$ 转换为 $2$ 进制数 $q$ 后,则 $q$ 的总位数不超过 $w$ 。

    在这里,正整数 $k(1≤k≤9)$ 和 $w(k<W≤30000)$ 是事先给定的。

    问:满足上述条件的不同的r共有多少个?

    我们再从另一角度作些解释:设 $S$ 是长度为 $w$ 的 $01$ 字符串(即字符串 $S$ 由 $w$ 个“ $0$ ”或“ $1$ ”组成), $S$ 对应于上述条件( $3$ )中的 $q$ 。将 $S$ 从右起划分为若干个长度为 $k$ 的段,每段对应一位 $2^k$ 进制的数,如果 $S$ 至少可分成 $2$ 段,则S所对应的二进制数又可以转换为上述的 $2^k$ 进制数 $r$ 。

    例:设 $k=3,w=7$ 。则 $r$ 是个八进制数( $2^3=8$ )。由于 $w=7$ ,长度为 $7$ 的 $01$ 字符串按 $3$ 位一段分,可分为 $3$ 段(即 $1,3,3$ ,左边第一段只有一个二进制位),则满足条件的八进制数有:

    $2$ 位数:
    高位为 $1$ : $6$ 个(即 $12,13,14,15,16,17$ ),
    高位为 $2$ : $5$ 个,
    …,
    高位为 $6$ : $1$ 个(即 $67$ )。
    共 $6+5+…+1=21$ 个。

    $3$ 位数:
    高位只能是 $1$ ,
    第 $2$ 位为 $2$ : $5$ 个(即 $123,124,125,126,127$ ),
    第 $2$ 位为 $3$ : $4$ 个,
    …,
    第 $2$ 位为 $6$ : $1$ 个(即 $167$ )。
    共 $5+4+…+1=15$ 个。

    所以,满足要求的 $r$ 共有 $36$ 个。

    输入输出格式

    输入格式:

    $2$ 个正整数,用一个空格隔开:

    $k W$

    输出格式:

    $1$ 个正整数,为所求的计算结果,即满足条件的不同的 $r$ 的个数(用十进制数表示),要求最高位不得为 $0$ ,各数字之间不得插入数字以外的其他字符(例如空格、换行符、逗号等)。

    (提示:作为结果的正整数可能很大,但不会超过 $200$ 位)

    输入输出样例

    输入样例#1: 复制
    3 7
    输出样例#1: 复制
    36

    说明

    NOIP 2006 提高组 第四题

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