P1099 树网的核

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  • 题目提供者 CCF_NOI
  • 评测方式 云端评测
  • 标签 动态规划,动规,dp 最短路 枚举,暴力 树形结构 模拟 NOIp提高组 2007
  • 难度 提高+/省选-
  • 时空限制 1000ms / 128MB

题解

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    题目描述

    设 $T=(V,E,W)$ 是一个无圈且连通的无向图(也称为无根树),每条边到有正整数的权,我们称 $T$ 为树网(treebetwork),其中 $V$ , $E$ 分别表示结点与边的集合, $W$ 表示各边长度的集合,并设 $T$ 有 $n$ 个结点。

    路径:树网中任何两结点 $a$ , $b$ 都存在唯一的一条简单路径,用 $d(a, b)$ 表示以 $a, b$ 为端点的路径的长度,它是该路径上各边长度之和。我们称 $d(a, b)$ 为 $a, b$ 两结点间的距离。

    $D(v, P)=\min\{d(v, u)\}$ , $u$ 为路径 $P$ 上的结点。

    树网的直径:树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网 $T$ ,直径不一定是唯一的,但可以证明:各直径的中点(不一定恰好是某个结点,可能在某条边的内部)是唯一的,我们称该点为树网的中心。

    偏心距 $\mathrm{ECC}(F)$ :树网T中距路径F最远的结点到路径 $F$ 的距离,即

    $\mathrm{ECC}(F)=\max\{d(v, F),v \in V\}$

    任务:对于给定的树网 $T=(V, E, W)$ 和非负整数 $s$ ,求一个路径 $F$ ,他是某直径上的一段路径(该路径两端均为树网中的结点),其长度不超过 $s$ (可以等于s),使偏心距 $ECC(F)$ 最小。我们称这个路径为树网 $T=(V, E, W)$ 的核(Core)。必要时, $F$ 可以退化为某个结点。一般来说,在上述定义下,核不一定只有一个,但最小偏心距是唯一的。

    下面的图给出了树网的一个实例。图中, $A-B$ 与 $A-C$ 是两条直径,长度均为 $20$ 。点 $W$ 是树网的中心, $EF$ 边的长度为 $5$ 。如果指定 $s=11$ ,则树网的核为路径DEFG(也可以取为路径DEF),偏心距为 $8$ 。如果指定 $s=0$ (或 $s=1$ 、 $s=2$ ),则树网的核为结点 $F$ ,偏心距为 $12$ 。

    输入输出格式

    输入格式:

    共 $n$ 行。

    第 $1$ 行,两个正整数 $n$ 和 $s$ ,中间用一个空格隔开。其中 $n$ 为树网结点的个数, $s$ 为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为 $1,2,…,n$ 。

    从第 $2$ 行到第 $n$ 行,每行给出 $3$ 个用空格隔开的正整数,依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如,“ $2 4 7$ ”表示连接结点 $2$ 与 $4$ 的边的长度为 $7$ 。

    输出格式:

    一个非负整数,为指定意义下的最小偏心距。

    输入输出样例

    输入样例#1: 复制
    5 2
    1 2 5
    2 3 2
    2 4 4
    2 5 3
    
    
    输出样例#1: 复制
    5
    
    输入样例#2: 复制
    8 6
    1 3 2
    2 3 2 
    3 4 6
    4 5 3
    4 6 4
    4 7 2
    7 8 3
    
    输出样例#2: 复制
    5

    说明

    $40\%$ 的数据满足: $5 \le n \le 15$
    $70\%$ 的数据满足: $5 \le n \le 80$
    $100\%$ 的数据满足: $5 \le n \le 300,0 \le s \le 1000$ 。边长度为不超过 $1000$ 的正整数

    NOIP 2007 提高第四题

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