P1099 树网的核

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  • 题目提供者 CCF_NOI
  • 评测方式 云端评测
  • 标签 动态规划,动规,dp 最短路 枚举,暴力 树形结构 模拟 NOIp提高组 2007
  • 难度 提高+/省选-
  • 时空限制 1000ms / 128MB

题解

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    题目描述

    设$T=(V,E,W)$是一个无圈且连通的无向图(也称为无根树),每条边到有正整数的权,我们称$T$为树网(treebetwork),其中$V$,$E$分别表示结点与边的集合,$W$表示各边长度的集合,并设$T$有$n$个结点。

    路径:树网中任何两结点$a$,$b$都存在唯一的一条简单路径,用$d(a, b)$表示以$a, b$为端点的路径的长度,它是该路径上各边长度之和。我们称$d(a, b)$为$a, b$两结点间的距离。

    $D(v, P)=\min\{d(v, u)\}$, $u$为路径$P$上的结点。

    树网的直径:树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网$T$,直径不一定是唯一的,但可以证明:各直径的中点(不一定恰好是某个结点,可能在某条边的内部)是唯一的,我们称该点为树网的中心。

    偏心距$\mathrm{ECC}(F)$:树网T中距路径F最远的结点到路径$F$的距离,即

    $\mathrm{ECC}(F)=\max\{d(v, F),v \in V\}$

    任务:对于给定的树网$T=(V, E, W)$和非负整数$s$,求一个路径$F$,他是某直径上的一段路径(该路径两端均为树网中的结点),其长度不超过$s$(可以等于s),使偏心距$ECC(F)$最小。我们称这个路径为树网$T=(V, E, W)$的核(Core)。必要时,$F$可以退化为某个结点。一般来说,在上述定义下,核不一定只有一个,但最小偏心距是唯一的。

    下面的图给出了树网的一个实例。图中,$A-B$与$A-C$是两条直径,长度均为$20$。点$W$是树网的中心,$EF$边的长度为$5$。如果指定$s=11$,则树网的核为路径DEFG(也可以取为路径DEF),偏心距为$8$。如果指定$s=0$(或$s=1$、$s=2$),则树网的核为结点$F$,偏心距为$12$。

    输入输出格式

    输入格式:

    共$n$行。

    第$1$行,两个正整数$n$和$s$,中间用一个空格隔开。其中$n$为树网结点的个数,$s$为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为$1,2,…,n$。

    从第$2$行到第$n$行,每行给出$3$个用空格隔开的正整数,依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如,“$2 4 7$”表示连接结点$2$与$4$的边的长度为$7$。

    输出格式:

    一个非负整数,为指定意义下的最小偏心距。

    输入输出样例

    输入样例#1: 复制
    5 2
    1 2 5
    2 3 2
    2 4 4
    2 5 3
    
    
    输出样例#1: 复制
    5
    
    输入样例#2: 复制
    8 6
    1 3 2
    2 3 2 
    3 4 6
    4 5 3
    4 6 4
    4 7 2
    7 8 3
    
    输出样例#2: 复制
    5

    说明

    $40\%$的数据满足:$5 \le n \le 15$
    $70\%$的数据满足:$5 \le n \le 80$
    $100\%$的数据满足:$5 \le n \le 300,0 \le s \le 1000$。边长度为不超过$1000$的正整数

    NOIP 2007 提高第四题

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