P2047 [NOI2007]社交网络

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  • 题目提供者 shengmingkexue
  • 评测方式 云端评测
  • 标签 Floyd 图论 最短路 概率论,统计 NOI系列 2007
  • 难度 提高+/省选-
  • 时空限制 1000ms / 128MB

题解

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    题目描述

    在社交网络(social network)的研究中,我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。在一个社交圈子里有n个人,人与人之间有不同程度的关系。我 们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上,两个不同的人若互相认识,则在他们对应的结点之间连接一条无向边,并附上一个正数权值c,c越小,表示两 个人之间的关系越密切。

    我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度,注意到最短路径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利, 即这些结点对于s 和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。

    考虑到两个结点A和B之间可能会有多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下:

    令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目,Cs,t(v)表示经过v从s到t的最短路的数目;则定义

    为结点v在社交网络中的重要程度。

    为了使I(v)和Cs,t(v)有意义,我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图,即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。

    现在给出这样一幅描述社交网络s的加权无向图,请你求出每一个结点的重要程度。

    输入输出格式

    输入格式:

    输入第一行有两个整数,n和m,表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中,我们将所有结点从1到n进行编号。

    接下来m行,每行用三个整数a, b, c描述一条连接结点a和b,权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连,无向图中也不会出现自环(即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点)。

    输出格式:

    输出包括n行,每行一个实数,精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。

    输入输出样例

    输入样例#1: 复制
    4 4
    1 2 1
    2 3 1
    3 4 1
    4 1 1
    输出样例#1: 复制
    1.000
    1.000
    1.000
    1.000

    说明

    对于1号结点而言,只有2号到4号结点和4号到2号结点的最短路经过1号结点,而2号结点和4号结点之间的最短路又有2条。因而根据定义,1号结点的重要程度计算为1/2+1/2=1。由于图的对称性,其他三个结点的重要程度也都是1。

    50%的数据中:n ≤10,m ≤45

    100%的数据中:n ≤100,m ≤4 500,任意一条边的权值c是正整数,满足:1 ≤c ≤1 000。

    所有数据中保证给出的无向图连通,且任意两个结点之间的最短路径数目不超过10^10。

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