P3211 [HNOI2011]XOR和路径

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  • 题目提供者 洛谷OnlineJudge
  • 评测方式 云端评测
  • 标签 位运算,按位 期望 高斯消元 2011 湖南 高性能
  • 难度 省选/NOI-
  • 时空限制 1000ms / 128MB

题解

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    题目描述

    给定一个无向连通图,其节点编号为 1 到 N,其边的权值为非负整数。试求出一条从 1 号节点到 N 号节点的路径,使得该路径上经过的边的权值的“XOR 和”最大。该路径可以重复经过某些节点或边,当一条边在路径中出现多次时,其权值在计算“XOR 和”时也要被重复计算相应多的次数。

    直接求解上述问题比较困难,于是你决定使用非完美算法。具体来说,从 1 号节点开始,以相等的概率,随机选择与当前节点相关联的某条边,并沿这条边走到下一个节点,重复这个过程,直到走到 N 号节点为止,便得到一条从 1 号节点到 N 号节点的路径。显然得到每条这样的路径的概率是不同的并且每条这样的路径的“XOR 和”也不一样。现在请你求出该算法得到的路径的“XOR 和”的期望值。

    输入输出格式

    输入格式:

    从文件input.txt中读入数据,输入文件的第一行是用空格隔开的两个正整数N和M,分别表示该图的节点数和边数。紧接着的M行,每行是用空格隔开的三个非负整数u,v和w(1≤u,v≤N,0≤w≤109),表示该图的一条边(u,v),其权值为w。输入的数据保证图连通,30%的数据满足N≤30,100%的数据满足2≤N≤100,M≤10000,但是图中可能有重边或自环。

    输出格式:

    输出文件 output.txt 仅包含一个实数,表示上述算法得到的路径的“XOR 和”的期望值,要求保留三位小数。(建议使用精度较高的数据类型进行计算)

    输入输出样例

    输入样例#1: 复制
    2 2
    1 1 2
    1 2 3
    输出样例#1: 复制
    2.333

    说明

    样例解释:有1/2的概率直接从1号节点走到2号节点,该路径的“XOR和”为3;有1/4的概率从1号节点走一次1号节点的自环后走到2号节点,该路径的“XOR和”为1;有1/8的概率从1号节点走两次1号节点的自环后走到2号节点,该路径的“XOR和”为3;„„;依此类推,可知“XOR

    和”的期望值为:3/2+1/4+3/8+1/16+3/32+„„=7/3,约等于2.333。

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