P3750 [六省联考2017]分手是祝愿

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  • 题目提供者 SakuraDance
  • 评测方式 云端评测
  • 标签 动态规划,动规,dp 期望 枚举,暴力 递推 各省省选 2017 高性能
  • 难度 省选/NOI-
  • 时空限制 1000ms / 128MB

题解

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    题目描述

    Zeit und Raum trennen dich und mich. 时空将你我分开。

    B 君在玩一个游戏,这个游戏由 $n$ 个灯和 $n$ 个开关组成,给定这 $n$ 个灯的初始状态,下标为从 $1$ 到 $n$ 的正整数。

    每个灯有两个状态亮和灭,我们用 $1$ 来表示这个灯是亮的,用 $0$ 表示这个灯是灭的,游戏的目标是使所有灯都灭掉。

    但是当操作第 $i$ 个开关时,所有编号为 $i$ 的约数(包括 $1$ 和 $i$)的灯的状态都会被改变,即从亮变成灭,或者是从灭变成亮。

    B 君发现这个游戏很难,于是想到了这样的一个策略,每次等概率随机操作一个开关,直到所有灯都灭掉。

    这个策略需要的操作次数很多,B 君想到这样的一个优化。如果当前局面,可以通过操作小于等于 $k$ 个开关使所有灯都灭掉,那么他将不再随机,直接选择操作次数最小的操作方法(这个策略显然小于等于 $k$ 步)操作这些开关。

    B 君想知道按照这个策略(也就是先随机操作,最后小于等于 $k$ 步,使用操作次数最小的操作方法)的操作次数的期望。

    这个期望可能很大,但是 B 君发现这个期望乘以 $n$ 的阶乘一定是整数,所以他只需要知道这个整数对 $100003$ 取模之后的结果。

    输入输出格式

    输入格式:

    第一行两个整数 $n, k$。 接下来一行 $n$ 个整数,每个整数是 $0$ 或者 $1$,其中第 $i$ 个整数表示第 $i$ 个灯的初始情况。

    输出格式:

    输出一行,为操作次数的期望乘以 $n$ 的阶乘对 $100003$ 取模之后的结果。

    输入输出样例

    输入样例#1: 复制
    4 0
    0 0 1 1
    
    输出样例#1: 复制
    512
    输入样例#2: 复制
    5 0
    1 0 1 1 1
    输出样例#2: 复制
    5120

    说明

    对于 $0\%$ 的测试点,和样例一模一样;
    对于另外 $30\%$ 的测试点,$n \leq 10$;
    对于另外 $20\%$ 的测试点,$n \leq 100$;
    对于另外 $30\%$ 的测试点,$n \leq 1000$;
    对于 $100\%$ 的测试点,$1 \leq n \leq 100000, 0 \leq k \leq n$;
    对于以上每部分测试点,均有一半的数据满足 $k = n$。

    提示
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