P5023 填数游戏

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  • 题目提供者 龟龟号打捞船 铲屎官
  • 评测方式 云端评测
  • 标签 NOIp提高组 2018
  • 难度 省选/NOI-
  • 时空限制 1000ms / 128MB

题解

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    题目描述

    小 D 特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。

    这个填数游戏的棋盘是一个$n \times m$的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入 一个数字(数字 $0$或者数字 $1$),填数时需要满足一些限制。

    下面我们来具体描述这些限制。

    为了方便描述,我们先给出一些定义:

    • 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即(行坐标,列坐标)。(注意: 行列坐标均从 $0$ 开始编号)
    • 合法路径 $P$:一条路径是合法的当且仅当:

      1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子$(0,0)$出发,到矩形的右下角格子 $(n - 1,m - 1)$结束;
      2. 在这条路径中,每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子,或者 从当前格子移动到下面与它相邻的格子。
        例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是$P_1$: $(0,0)$ → $(0,1)$ → $(1,1)$和$P_2$:$(0,0)$ → $(1,0)$ → $(1,1)$。

    对于一条合法的路径 $P$,我们可以用一个字符串$w(P)$来表示,该字符串的长度为$n + m - 2$,其中只包含字符“$R$”或者字符“$D$”, 第 $i$ 个字符记录了路径$ P$ 中第 $i$ 步的移动 方法,“ $R$”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,“ $D$”表示移动到当前格子下面 与它相邻的格子。例如,上图中对于路径$P_1$,有$w(P_1) =$ "$RD$";而对于另一条路径$P_2$, 有$w(P_2) =$ "$DR$"。

    同时,将每条合法路径 $P$ 经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长 度为$n + m - 1$的 $01$ 字符串,记为 $s(P)$。例如,如果我们在格子$(0,0)$和$(1,0)$上填入数字 $0$,在格子$(0,1)$和$(1,1)$上填入数字 1(见上图红色数字)。那么对于路径$P_1$,我们可以得 到$s(P_1) =$ "$011$",对于路径$P_2$,有$s(P_2) =$ "$001$"。

    游戏要求小 D 找到一种填数字$ 0$、$ 1$ 的方法,使得对于两条路径$P_1$, $P_2$,如果$w(P_1) > w(P_2)$,那么必须$s(P_1) ≤ s(P_2)$。我们说字符串 $a$ 比字符串 $b$ 小,当且仅当字符串 $a$ 的字典序小于字符串 $b$ 的字典序,字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满 足小 D 的好奇心,小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法,也就是说,有多少种填数字 的方法满足游戏的要求?

    小 D 能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填 $0$、$1$ 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对$10^9 + 7$取模的结果。

    输入输出格式

    输入格式:

    输入文件共一行,包含两个正整数 $n,m$,由一个空格分隔,表示矩形的大小。其 中 $n$ 表示矩形表格的行数,$m$ 表示矩形表格的列数。

    输出格式:

    输出共一行,包含一个正整数,表示有多少种填 $0$、$1$ 的方法能满足游戏的要求。 注意:输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

    输入输出样例

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    说明

    【样例解释】

    【数据规模与约定】

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